4項の余弦の方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 方程式は「積 = 0」の形に持ち込むのが鉄則だ。4項の和を積にするには和積の公式だが、組み方に設計がいる。

隣どうし($\theta$ と $3\theta$ など)で組むと、平均の角がばらける。外側どうし($\theta$ と $7\theta$)・内側どうし($3\theta$ と $5\theta$)で組めば、平均の角がどちらも $4\theta$ にそろい、共通因数 $\cos 4\theta$ が浮かび上がる。

残った $\cos 3\theta +\cos \theta$ にもう一度和積。等差に並んだ角の和は、この繰り返しで階段状に積へ潰れる。

① 外・内で組んで共通因数を出す。

$$(\cos \theta +\cos 7\theta )+(\cos 3\theta +\cos 5\theta )=2\cos 4\theta \cos 3\theta +2\cos 4\theta \cos \theta =2\cos 4\theta (\cos 3\theta +\cos \theta )$$

② もう一度和積。 $\cos 3\theta +\cos \theta =2\cos 2\theta \cos \theta$ だから、方程式は

$$4\cos 4\theta \cos 2\theta \cos \theta =0$$

③ 積=0 を範囲内で解く。 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ に注意して

• $\cos 4\theta =0$: $4\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$($0\le 4\theta \le 2\pi$)→ $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}$
• $\cos 2\theta =0$: $2\theta =\frac{\pi }{2}$($0\le 2\theta \le \pi$)→ $\theta =\frac{\pi }{4}$
• $\cos \theta =0$: $\theta =\frac{\pi }{2}$

よって $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2}$。

まとめ: 「平均の角がそろう組み方(外外・内内)」が急所。等差に並んだ角の余弦の和は $2^k\cos (2^k\text{倍角})\cdots$ の積へと繰り返し潰せる — 因数の個数だけ解の系列が現れる構造まで見えると、解の書き落としもなくなる。

発展 — 一歩先へ。 別解の畳み込みは一般化できて、$\cos \theta +\cos 3\theta +\cdots +\cos (2n-1)\theta =\frac{\sin 2n\theta }{2\sin \theta }$。等差の角の和が1つの分数で書ける、という事実は波の重ね合わせ(物理の干渉)の計算そのものでもある。

別解

$2\sin \theta$ を掛けて畳む(望遠鏡ルート)。 等差に並んだ角の和には、名品の一手がある。両辺に $2\sin \theta$ を掛けるのだ。

積和の公式 $2\sin \theta \cos (2k-1)\theta =\sin 2k\theta -\sin (2k-2)\theta$ を各項に使うと

$$2\sin \theta (\cos \theta +\cos 3\theta +\cos 5\theta +\cos 7\theta )=(\sin 2\theta -0)+(\sin 4\theta -\sin 2\theta )+(\sin 6\theta -\sin 4\theta )+(\sin 8\theta -\sin 6\theta )=\sin 8\theta$$

隣どうしが打ち消し合い、$\sin 8\theta$ だけが残った。よって $\sin \theta \ne 0$ の範囲では、方程式は $\sin 8\theta =0$ と同値。$0<\theta \le \frac{\pi }{2}$ で $8\theta =\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2}$。

残る $\theta =0$($\sin \theta =0$ の場合)は、元の式に入れると和が4で不適。掛けた因子の零点を最後に検品する、この一手間までがルートの作法だ。等差角の和はこの畳み込みで一般の項数でも閉じた式になる。