扇形の周と面積の最大

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変数が半径 $r$ と弧長 $\ell$ の2つに見えるが、周の条件 $2r+\ell =20$ が1つを消してくれる。

$\ell =20-2r$ を面積 $S=\frac{1}{2}r\ell$ に入れると、$S$ は $r$ の2次関数だ。

あとは平方完成して頂点で最大。定義域($r$ も $\ell$ も正、つまり $0<r<10$)に頂点が入っているかの確認も忘れずに。

半径 $r$、弧長 $\ell$ とおく。周が $20$ なので

$$2r+\ell =20\Rightarrow \ell =20-2r$$

面積は

$$S=\frac{1}{2}r\ell =\frac{1}{2}r(20-2r)=10r-r^2=-(r-5{)}^2+25$$

$r$ の2次関数として、$r=5$ のとき最大 $25$。(このとき $\ell =10$、中心角 $\theta =\frac{\ell }{r}=2$ ラジアンで、扇形として成り立つ。)

最大の面積は $25$。

発展 — 一歩先へ。 最大の扇形の中心角は $\frac{\ell }{r}=2$ ラジアン。半径や周の長さを変えても、この「2ラジアン」は変わらない普遍の答えだ。弧度法だからこそ、こんなに簡潔に言える。

「周一定の図形で面積最大」を突き詰めると、究極の答えは円になる(等周問題)。扇形・長方形での最大化は、その壮大な問いのミニチュア版である。

別解

「和が一定 → 積は半々で最大」の相加平均・相乗平均でも、展開なしで落ちる。

面積は $S=\frac{1}{2}r\ell =\frac{1}{4}(2r)\ell$ と、和の部品 $2r$ と $\ell$ の積で書ける。

$2r+\ell =20$(一定)だから、相加相乗より

$$(2r)\ell \le {\left(\frac{2r+\ell }{2}\right)}^2=100$$

よって $S\le 25$。等号は $2r=\ell =10$、つまり $r=5$ のときで、範囲 $0<r<10$ にちゃんと入っている。

答えの配分「半径2本ぶん($2r=10$)と弧($\ell =10$)が周をちょうど半分ずつ使う」という美しい構図が、不等式の等号条件として浮かび上がる。花だんの面積の問題(2次関数)と同じ骨格だ。