数学II / 三角関数

2倍角を使う最大・最小

★★★ 応用2倍角最大最小

問題

$0 \leq θ < 2 π$ のとき、 $y = cos 2 θ + 4 sin θ$ の最大値と最小値を求めよ。

ヒントを見る

$cos 2 θ$ を $sin θ$ だけの式に直せば、全体が $sin θ$ の $2$ 次関数になる。置きかえた文字の範囲の中で、頂点と端を比べよう。

解答・解説

方針

$cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ で $sin θ$ だけの式にする。 $s = sin θ$ ( $- 1 \leq s \leq 1$ )とおくと $y$ が $s$ の2次関数になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = cos 2 θ + 4 sin θ$ は、角が $2 θ$ と $θ$ の $2$ 種類。このままでは最大最小を調べにくい。

$cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ を使うと、式全体が $sin θ$ だけの形にそろう。

$s = sin θ$ ( $- 1 \leq s \leq 1$ )とおけば $s$ の $2$ 次関数だ。倍角で $1$ 種類にそろえ、置換で $2$ 次関数にし、範囲つきで最大最小を調べる。

重要

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ

で

sin θ

の2次関数にそろえる

① $cos 2 θ$ を $sin θ$ だけで書く。 $cos 2 θ$ には $sin θ$ だけで書ける形 $1 - 2 sin^{2} θ$ がある。これを代入すると、式全体が $sin θ$ だけになる。

$y = cos 2 θ + 4 sin θ = (1 - 2 sin^{2} θ) + 4 sin θ$

② $s = sin θ$ とおいて2次関数にする。 $s = sin θ$ とおくと

$y = - 2 s^{2} + 4 s + 1 = - 2 (s - 1)^{2} + 3$

ここで大事なのは $s$ の範囲。 $s = sin θ$ は $- 1$ から $1$ までしかとらないので $- 1 \leq s \leq 1$ 。

③ $s$ の範囲で最大・最小を調べる。 $y = - 2 (s - 1)^{2} + 3$ は上に凸、頂点 $s = 1$ 。頂点 $s = 1$ は範囲のちょうど右端にあるので、最大はここで $3$ 。

最小は、頂点から最も遠い端 $s = - 1$ でとる。

$y_{s = - 1} = - 2 (- 1)^{2} + 4 (- 1) + 1 = - 2 - 4 + 1 = - 5$

よって最大値 $3$ 、最小値 $- 5$ 。

y=−2(s−1)²+3(−1≤s≤1)。s=1 で最大、s=−1 で最小

まとめ: $cos 2 θ$ と $sin θ$ が混じったら、 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ で $sin θ$ にそろえて2次関数に。 $s = sin θ$ の範囲 $- 1 \leq s \leq 1$ を必ず使う。

発展 — 一歩先へ。 $cos 2 θ$ と $sin θ$ が混ざった $y = a cos 2 θ + b sin θ + c$ の形は、いつでも $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ で $s = sin θ$ の $2$ 次関数になる。ただし $s$ は $- 1 \leq s \leq 1$ の中でしか動けない。

だから最大最小の要は「頂点 $s$ が区間 $[- 1, 1]$ のどこにあるか」だ。頂点が区間の内側なら、最大(または最小)は頂点でとる。頂点が区間の外や端なら、 $s = 1$ か $s = - 1$ の端で決まる。

今回は頂点 $s = 1$ がちょうど右端に乗っていた。もし $4 sin θ$ の係数が小さければ頂点は内側に入り、答えの様子が変わる。区間つき $2$ 次関数は「頂点の位置で場合分け」——これが最大最小の背骨だ。

答

最大値 $3$ 、最小値 $- 5$

別解

別解 — 微分して増減を見る(得意な人向けの解析ルート)。 $y = cos 2 θ + 4 sin θ$ をそのまま $θ$ で微分する。

$y^{'} = - 2 sin 2 θ + 4 cos θ = - 4 sin θ cos θ + 4 cos θ = 4 cos θ (1 - sin θ) .$

ここで $1 - sin θ \geq 0$ (つねに $0$ 以上)なので、 $y^{'}$ の符号は $cos θ$ だけで決まる。 $cos θ > 0$ で $y$ は増加、 $cos θ < 0$ で減少。

$y^{'} = 0$ となるのは $cos θ = 0$ 、すなわち $θ = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ ( $sin θ = 1$ すなわち $θ = \frac{π}{2}$ もここに含まれる)。 $θ$ は $1$ 周ぶんで端がないから、最大最小はここでとる。

$θ = \frac{π}{2} : y = cos π + 4 = - 1 + 4 = 3, θ = \frac{3}{2} π : y = cos 3 π - 4 = - 1 - 4 = - 5.$

よって最大値 $3$ 、最小値 $- 5$ 。置換して $2$ 次関数にする本解と同じ答えだ。 $cos θ$ の符号が増減を切り替えるので、増加から減少に変わる $\frac{π}{2}$ で山、減少から増加に変わる $\frac{3}{2} π$ で谷になる。

ポイント

$cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ で $sin θ$ にそろえる。
$s = sin θ$ の範囲は $[- 1, 1]$ 。その中で2次関数の最大最小。

よくある間違い

$cos 2 θ$ を $sin θ$ の形 $1 - 2 sin^{2} θ$ でなく $2 cos^{2} θ - 1$ で置き、 $cos θ$ と $sin θ$ が混在して $2$ 次関数にできない。
$s = sin θ$ の範囲 $- 1 \leq s \leq 1$ を使わず、頂点 $s = 1$ の外側や放物線全体で最小を探す。
頂点 $s = 1$ が範囲の右端に一致するので最大はそこ、最小は最も遠い端 $s = - 1$ 、という端の比較を怠り最小を取り違える。