三角不等式(基本)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式も、まず等号のとき(方程式)を解く。それが境目になる。

$$\cos \theta =\frac{1}{2}⟹\theta =\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi$$

この $2$ つが境界。 あとは「どちら側が $\cos \theta >\frac{1}{2}$ か」を決める。

単位円で考える。$\cos$ は $x$ 座標。

$$\cos \theta >\frac{1}{2}⟺(\text{点の x 座標})>\frac{1}{2}$$

垂直線 $x=\frac{1}{2}$ より、右側にある点。 それは円の右端の部分(弧)だ。

その弧に対応する角は、$\theta =0$ の付近($\frac{\pi }{3}$ より小さい角と、$\frac{5}{3}\pi$ より大きい角)。

$$0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}\text{または}\frac{5}{3}\pi <\theta <2\pi$$

$0$ をまたぐので、答えが $2$ つに分かれる — ここが急所だ。

$\cos \theta$ は単位円の $x$ 座標。$\cos \theta >\frac{1}{2}$ は、$x$ 座標が $\frac{1}{2}$ より右にある点。

境界 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ は $\theta =\frac{\pi }{3}$(第1象限)と $\theta =\frac{5}{3}\pi$(第4象限)。

$x$ 座標が大きい(右寄りの)角は、$0$ の近くと $2\pi$ の近く。よって

$$0\le \theta <\frac{\pi }{3}\text{または}\frac{5}{3}\pi <\theta <2\pi$$

発展 — 一歩先へ。 三角不等式の解が「$2$ つの範囲に分かれる」現象は、周期関数ならではの特徴である。

$2$ 次不等式なら、解は「$1$ つの区間」か「$2$ つの外側」のどちらかだった。

$$x^2-5x+6<0⟹2<x<3(\text{1 つの区間})$$

三角不等式では、周期性のせいで解が"繰り返し"現れる。

範囲を $0\leqq \theta <4\pi$($2$ 周期分)に広げたら、どうなるか。

$$\cos \theta >\frac{1}{2}$$

の解は

$$0\leqq \theta <\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi <\theta <\frac{7}{3}\pi ,\frac{11}{3}\pi <\theta <4\pi$$

$3$ つの範囲に増えた。 範囲を広げるほど、解の"島"が増えていく。

一般解として書くなら

$$-\frac{\pi }{3}+2n\pi <\theta <\frac{\pi }{3}+2n\pi (n\text{は整数})$$

「$2n\pi$ ごとに、同じ形の島が並ぶ」 — これが周期関数の解の姿だ。

この構造は、現実の問題に直結する。

「潮位が $2$ m を超えるのは、$1$ 日のうち何時間か?」

潮の満ち引きは、およそ $\cos$ 波で近似できる。潮位が基準を超える時間帯は、周期的に繰り返し現れる — まさに三角不等式の解だ。

「日照時間が $12$ 時間を超える季節は?」 — 太陽高度も、$1$ 年周期の三角関数で近似できる。

「交流電圧が $100$ V を超える割合は?」 — 交流は $\sin$ 波そのもの。

周期的な現象を扱う限り、「どの範囲で条件が成り立つか」は、必ず三角不等式になる。

そして答えは、必ず「周期的に繰り返す島の集まり」の形をしている。 $2$ つに分かれた答えを見て「変だ」と思わないこと — それが、波の世界の当たり前の姿なのだ。

別解

グラフで解けば、答えが $2$ つに分かれる理由が"見える"。 単位円で混乱したら、こちらに切り替えよう。

グラフルート: $y=\cos \theta$ と $y=\frac{1}{2}$ を、同じ図に描く。

$0\leqq \theta <2\pi$ で、$\cos$ のグラフは

• $\theta =0$ で $y=1$(最大)
• $\theta =\pi$ で $y=-1$(最小)
• $\theta =2\pi$ で $y=1$ に戻る

「$1$ から下がって、$-1$ まで行き、また $1$ に戻る」 — U字を逆さにしたような、なめらかな谷の形だ。

水平線 $y=\frac{1}{2}$ を引くと、$2$ 点で交わる。

$$\theta =\frac{\pi }{3}(\text{下り坂}),\theta =\frac{5}{3}\pi (\text{上り坂})$$

「グラフが水平線より上にある範囲」を読む。

• 左端($\theta =0$ 付近): グラフは $y=1$ から始まるので、線より上 ✓
• $\theta =\frac{\pi }{3}$ で線と交わり、下へ潜る
• 谷底($\theta =\pi$)を通り、また上がってくる
• $\theta =\frac{5}{3}\pi$ で線を上に突き抜ける
• 右端($\theta =2\pi$ 付近): また線より上 ✓

「上にある」のは、両端の $2$ か所。 真ん中(谷の部分)は、線より下だ。

$$0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}\text{または}\frac{5}{3}\pi <\theta <2\pi ✓$$

グラフを見れば、「なぜ $2$ つに分かれるのか」が明白だ。 谷が真ん中にあるから、上にある部分が両端に分断される。

単位円とグラフ、どちらを使うか。

この問題では、グラフのほうが分かりやすい。 単位円だと「$0$ の前後」で角が $0$ と $2\pi$ に分かれるのが、直感的につかみにくい。

しかし $\sin$ の不等式なら、単位円も強い。 $\sin \theta >\frac{1}{2}$ なら、水平線より上の弧 — つながった $1$ つの範囲($\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5}{6}\pi$)になり、分断されない。

$2$ つの道具を、状況で使い分ける。

境界の扱いにも注意しよう。

$$\cos \theta >\frac{1}{2}(\text{等号なし})$$

だから $\theta =\frac{\pi }{3}$ と $\theta =\frac{5}{3}\pi$ は、答えに含まない(不等号は $<$、$>$ のまま)。

一方、左端の $\theta =0$ は含む($0\leqq \theta$ と書く)。なぜか。 $\cos 0=1>\frac{1}{2}$ ✓ — $\theta =0$ は、ちゃんと不等式を満たしている。 範囲の端($0\leqq \theta <2\pi$)であって、不等式の境界ではないからだ。

「不等式の境界」と「問題文の範囲の端」は、別物である。 混同して $0<\theta$ と書いてしまうと、$\theta =0$ という正しい解を落とすことになる。細かいが、確実に減点される場所だ。