数学II / 三角関数

余弦の無限積(2倍角の反復)

実戦編三角関数極限2倍角無限積単元横断

問題

$0 < θ < π$ とする。(1) $k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}} = \frac{sin θ}{2 ^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}}$ を示せ。

(2) $n \to \infty lim k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}}$ を求めよ。

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$cos \frac{θ}{2 ^{k}} = \frac{sin \frac{θ}{2 ^{k - 1}}}{2 sin \frac{θ}{2 ^{k}}}$ (2倍角)を代入すると、積が望遠鏡のように打ち消し合う。極限は $\frac{sin x}{x}$ の性質。

解答・解説

方針

$sin \frac{θ}{2 ^{k - 1}} = 2 sin \frac{θ}{2 ^{k}} cos \frac{θ}{2 ^{k}}$ を使うと、積 $\prod cos$ が次々に $sin$ の比に化ける(望遠鏡)。極限は $\frac{sin x}{x} \to 1$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $cos$ の積は足し算より扱いにくい。積を消す武器は、2倍角 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を「 $cos x = \frac{sin 2 x}{2 sin x}$ 」と読むことだ。

各因子 $cos \frac{θ}{2 ^{k}}$ をこの形に直すと、分子と分母に $sin$ が連鎖して現れ、隣どうしで約分されていく(望遠鏡)。

生き残るのは最初の $sin θ$ と最後の $sin \frac{θ}{2 ^{n}}$ だけ。(2) の極限は $\frac{sin x}{x} \to 1$ に帰着する。

公式2倍角

sin 2 x = 2 sin x cos x

、すなわち

cos x = \frac{sin 2 x}{2 sin x}

① 望遠鏡積で示す。 $cos \frac{θ}{2 ^{k}} = \frac{sin \frac{θ}{2 ^{k - 1}}}{2 sin \frac{θ}{2 ^{k}}}$ を代入すると $k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}} = k = 1 \prod n \frac{sin \frac{θ}{2 ^{k - 1}}}{2 sin \frac{θ}{2 ^{k}}} = \frac{1}{2 ^{n}} \cdot \frac{sin \frac{θ}{2 ^{0}} sin \frac{θ}{2 ^{1}} \dots sin \frac{θ}{2 ^{n - 1}}}{sin \frac{θ}{2 ^{1}} sin \frac{θ}{2 ^{2}} \dots sin \frac{θ}{2 ^{n}}} .$ 分子・分母で中間の $sin$ が打ち消し合い、分子は $sin θ$ 、分母は $sin \frac{θ}{2 ^{n}}$ だけ残る。よって $k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}} = \frac{sin θ}{2 ^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}} .$ ② 極限。 $x = \frac{θ}{2 ^{n}} \to 0$ とおくと $2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} = θ \cdot \frac{sin x}{x}$ 、そして $\frac{sin x}{x} \to 1$ 。よって $n \to \infty lim k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}} = n \to \infty lim \frac{sin θ}{2 ^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}} = \frac{sin θ}{θ} .$

まとめ 余弦の無限積は、2倍角で $cos$ を $sin$ の比に直すと望遠鏡的に縮み、 $\frac{sin θ}{2 ^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}}$ 。極限は $\frac{sin x}{x} \to 1$ で $\frac{sin θ}{θ}$ 。三角(2倍角)と極限・無限積の融合(ヴィエタの公式)。

発展 — 一歩先へ。 $θ = \frac{π}{2}$ を代入すると $cos \frac{π}{4} cos \frac{π}{8} cos \frac{π}{16} \dots = \frac{2}{π}$ 。半角の公式で各因子を根号に直すと $\frac{2}{π} = \frac{2}{2} \cdot \frac{2 + 2}{2} \cdot \frac{2 + 2 + 2}{2} \dots$ — ヴィエタの公式(1593年)である。円周率が根号の入れ子だけで書けた、歴史上最初の無限積だ。

答

2倍角 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を反復すると積が望遠鏡的に縮む。(2) は $2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} \to θ$ より $\frac{sin θ}{θ}$ 。

別解

別解 — 「弧を弦で測る」と読む(図形派の直感+検算)。 半径 $1$ の円で、中心角 $θ$ の弧の弦の長さは $2 sin \frac{θ}{2}$ 。

(1) の式を移項すると $sin θ = 2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} \times \prod cos$ 。右辺の $2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}$ は、弧 $θ$ を $2^{n}$ 等分してつないだ折れ線(弦の鎖)の長さの半分…つまり「弧を細かい弦で近似した長さ」に対応する量だ。

$n$ を増やすと折れ線は弧に張りつき、 $2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} \to θ$ 。これが (2) の極限 $\frac{sin θ}{θ}$ の図形的な意味である。

数値でも確かめられる。 $θ = \frac{π}{2}$ なら積は $cos 4 5^{\circ} cos 22. 5^{\circ} cos 11.2 5^{\circ} \dots \to \frac{sin ( π /2 )}{π /2} = \frac{2}{π} \approx 0.6366$ 。電卓で3項掛けただけで $0.641$ まで来る。式の望遠鏡(本解)に、この「弧と弦」の絵を添えると忘れない。

ポイント

$cos x = \frac{sin 2 x}{2 sin x}$ で積を $sin$ の比に。
中間の $sin$ が打ち消し、 $\frac{sin θ}{2 ^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}}}$ 。
$2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} \to θ$ より極限 $\frac{sin θ}{θ}$ 。

よくある間違い

2倍角をどの向きに使うか混乱する( $sin \frac{θ}{2 ^{k - 1}} = 2 sin \frac{θ}{2 ^{k}} cos \frac{θ}{2 ^{k}}$ の形に全部そろえる)。
(2) で $2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} \to θ$ の根拠( $\frac{sin x}{x} \to 1$ )を書かない。
$0 < θ < π$ なら $sin \frac{θ}{2 ^{n}} > 0$ で分母が消えないこと(割り算の正当性)に触れない。