5倍角の公式と cos(π/10)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{\pi }{10}$ の余弦は、普通の変形では出ない。この角の特別さは「5倍すると $\frac{\pi }{2}$」になること。つまり $\cos 5\theta =0$ という方程式に $\theta =\frac{\pi }{10}$ が乗っている。

そこで(1)の5倍角の公式を作り、$c=\cos \frac{\pi }{10}$ の満たす多項式の方程式に翻訳する。

解くと候補が2つ出る。だが $\cos \frac{\pi }{10}$ が $\cos \frac{\pi }{6}$ より大きいことなど、既知の角との大小で1つに選べる。

① 5倍角の公式を作る((1))。 $5\theta =2\theta +3\theta$ の加法定理で

$$\cos 5\theta =\cos 2\theta \cos 3\theta -\sin 2\theta \sin 3\theta =(2c^2-1)(4c^3-3c)-2sc\cdot s(4c^2-1)$$

$s^2=1-c^2$ を代入して整理すると

$$\cos 5\theta =c\{(2c^2-1)(4c^2-3)-2(1-c^2)(4c^2-1)\}=c(16c^4-20c^2+5)=16c^5-20c^3+5c$$

② 方程式に翻訳する。 $\theta =\frac{\pi }{10}$ のとき $\cos 5\theta =\cos \frac{\pi }{2}=0$。$c=\cos \frac{\pi }{10}>0$ だから

$$16c^4-20c^2+5=0⟹c^2=\frac{20\pm \sqrt{400-320}}{32}=\frac{5\pm \sqrt{5}}{8}$$

③ 候補を選ぶ。 $\frac{\pi }{10}<\frac{\pi }{6}$ で余弦は減少するから $c>\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、すなわち $c^2>\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$。$\frac{5+\sqrt{5}}{8}>\frac{6}{8}$、$\frac{5-\sqrt{5}}{8}<\frac{6}{8}$ だから

$$c^2=\frac{5+\sqrt{5}}{8}⟹c=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{4}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

まとめ: 「特別な角は、何倍かすると自明になる」— その1点から多項式の方程式に押し込むのがこの型。捨てた候補 $\frac{5-\sqrt{5}}{8}$ は $\cos \frac{3\pi }{10}$ の平方 — 同じ方程式に兄弟の角が同居しており、大小比較による選別が答案の核心部になる。

発展 — 一歩先へ。 方程式 $16c^4-20c^2+5=0$ の4つの解は $\pm \cos \frac{\pi }{10},\pm \cos \frac{3\pi }{10}$。捨てた候補は兄弟の角の値だった。「1本の方程式に、同族の角が全員そろって住んでいる」— 倍角系の方程式に共通する風景だ。

別解

半角の公式で $\cos 36^{\circ }$ から降ろす(既知の値の再利用)。 $\frac{\pi }{10}=18^{\circ }$ は $36^{\circ }$ の半分だ。$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$(倍角の連鎖から求まる有名値)を認めれば、半角の公式一発で届く。

$${\cos }^{2}18^{\circ }=\frac{1+\cos 36^{\circ }}{2}=\frac{1+\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$$

$\cos 18^{\circ }>0$ だから

$$\cos \frac{\pi }{10}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

本解の4次方程式の解 $c^2=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ と、半角の $\frac{1+\cos 36^{\circ }}{2}$ が同じ値 — 5倍角の方程式の中に、倍角・半角の家系図がまるごと入っていたわけだ。$36^{\circ }$ 系の値を1つ知っていれば、$18^{\circ },72^{\circ },54^{\circ }$ の一族は倍角・半角・余角の乗り継ぎで全部手に入る。