cosの積の値(2倍角の繰り返し)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\cos 20°\cos 80°\cos 40°$ を、角を測らずに求めたい。

角が $20°\to 40°\to 80°$ と倍々になっているのがヒント。$\sin 2A=2\sin A\cos A$ は「$\cos$ を掛けると角が倍になる」公式だ。

そこで $\sin 20°$ を掛けてみる。$\sin 20°\cos 20°=\frac{1}{2}\sin 40°$、次に $\cos 40°$ を掛けると $\sin 80°$…と角が倍々に上がり、最後は $\sin 160°=\sin 20°$ でもとに戻る。この循環を利用する。

① $\sin 20°$ を掛ける。 求める積を $P$ とし、両辺に $\sin 20°$ を掛ける。

$$\sin 20°\cdot P=\sin 20°\cos 20°\cos 40°\cos 80°$$

② $2$ 倍角を繰り返す。 $\sin A\cos A=\frac{1}{2}\sin 2A$ を左から順に。

$$\sin 20°\cos 20°=\frac{1}{2}\sin 40°$$ $$\frac{1}{2}\sin 40°\cos 40°=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 80°=\frac{1}{4}\sin 80°$$ $$\frac{1}{4}\sin 80°\cos 80°=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\sin 160°=\frac{1}{8}\sin 160°$$

③ もとに戻す。 $\sin 160°=\sin (180°-20°)=\sin 20°$ だから

$$\sin 20°\cdot P=\frac{1}{8}\sin 20°$$

$\sin 20°\ne 0$ で割って

$$P=\frac{1}{8}$$

まとめ:角が倍々に並ぶ $\cos$ の積は「先頭の $\sin$ を掛けて $2$ 倍角の連鎖」。角が $20°\to 40°\to 80°\to 160°$ と倍増し、$\sin 160°=\sin 20°$ で先頭に戻ることで、掛けた $\sin 20°$ が消えて $\frac{1}{8}$ が残る。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^{n-1}\theta =\frac{\sin 2^n\theta }{2^n\sin \theta }$(角が倍々の積)。本問は $\theta =20°$、$n=3$ で $\frac{\sin 160°}{8\sin 20°}=\frac{\sin 20°}{8\sin 20°}=\frac{1}{8}$。$\sin 20°$ を掛ける工夫は、この望遠鏡積の公式の証明そのものだ。

別解

別解 — $60°$ をはさむペアにして積和(別の道具ルート)。 $80°=60°+20°$、$40°=60°-20°$ と見て、まず $\cos 40°\cos 80°$ を積和で処理する。

$$\cos 40°\cos 80°=\cos (60°-20°)\cos (60°+20°)={\cos }^{2}60°-{\sin }^{2}20°=\frac{1}{4}-{\sin }^{2}20°.$$

${\sin }^{2}20°=\frac{1-\cos 40°}{2}$ を入れて $\cos 40°\cos 80°=-\frac{1}{4}+\frac{\cos 40°}{2}$。これに $\cos 20°$ を掛け、$\cos 20°\cos 40°=\frac{1}{2}(\cos 60°+\cos 20°)=\frac{1}{4}+\frac{\cos 20°}{2}$ を使うと

$$\cos 20°\cos 40°\cos 80°=-\frac{\cos 20°}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{\cos 20°}{2}\right)=\frac{1}{8}.$$

$\sin 20°$ を掛けて角を倍々にする本解と同じ $\frac{1}{8}$。$\cos (60°\pm 20°)$ の対称ペアと積和公式でも、地道に $\frac{1}{8}$ にたどり着ける。