数学II / 三角関数

三角方程式(2倍角)

★★ 標準三角方程式2倍角

問題

$0 \leq θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin 2 θ = cos θ$ を解け。

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左辺の $sin 2 θ$ を $θ$ の式に直すと、両辺に共通の因数が現れる。割りたくなるが、割ると解を失う — 移項して積の形にするのが安全。

解答・解説

$sin 2 θ$ を2倍角で $2 sin θ cos θ$ に開く。すると全体を $cos θ$ でくくれて、因数分解 = 0 の形になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 左は $2 θ$ 、右は $θ$ 。角がそろっていない方程式は、まず角をそろえる。

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ と2倍角で開けば、全体が $θ$ の世界になる。

移項して $cos θ (2 sin θ - 1) = 0$ とくくる。ここで $cos θ$ で「割る」と解が消える。「割らずにくくる」が、この型の合言葉だ。

公式2倍角

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

で次数をそろえ、因数分解する

① $sin 2 θ$ を開いて、両辺を同じ形にそろえる。 左辺の $sin 2 θ$ を2倍角で開くと、両辺とも $cos θ$ を含む形になる。

$2 sin θ cos θ = cos θ$

② 移項して、共通の $cos θ$ でくくる。 ここで両辺を $cos θ$ で割ってはいけない。割ると $cos θ = 0$ の解が消えてしまう。移項してくくるのが安全だ。

$2 sin θ cos θ - cos θ = 0 \Rightarrow cos θ (2 sin θ - 1) = 0$

③ 積が $0$ なので、各因数が $0$ の場合を解く。 $cos θ = 0$ または $sin θ = \frac{1}{2}$ 。

cosθ=0 と sinθ=1/2 になる4つの角

4つを合わせて

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5}{6} π, \frac{3}{2} π$

まとめ: $sin 2 θ$ が混じったら2倍角で開き、共通因数でくくって「積 $= 0$ 」に持ち込む。両辺を割って解を落とさないことが最大の注意点。

発展 — 一歩先へ。 「割らずにくくる」は、文字の方程式 $x^{2} = a x$ で $x$ で割ってはいけないのと同じ原理だ。割る数が $0$ の可能性がある限り、割り算は解の削除になる。

別解の「 $sin = sin$ の2系統」は、方程式の解を全部の実数から拾う一般解の考え方で、数IIIでも周期現象の解析でも標準の道具になる。範囲を $0 \leq θ < 2 π$ に絞るのは、その一般解から窓で切り出す作業である。

答

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5}{6} π, \frac{3}{2} π$

右辺を $sin$ に翻訳して、「 $sin = sin$ 型」で解く道もある。

$cos θ = sin (\frac{π}{2} - θ)$ だから、方程式は

$sin 2 θ = sin (\frac{π}{2} - θ)$

$sin$ どうしが等しいのは、角が一致するか、 $π$ から引いた補角になるかの2通り( $+ 2 k π$ の自由つき)。

$2 θ = \frac{π}{2} - θ + 2 k π$ から $θ = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$ 。範囲内で $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$ 。
$2 θ = π - (\frac{π}{2} - θ) + 2 k π$ から $θ = \frac{π}{2} + 2 k π$ 。範囲内で $\frac{π}{2}$ 。

合わせて4解。因数分解ルートと一致する。「同じ $sin$ の値になる角は2系統」という単位円の対称性を、一般解の形で使い切る解法である。