三角関数の解説

三角関数は、数学Iの三角比を「角を実数(ラジアン)として、関数として扱う」ように拡張した単元です。学ぶ内容は、弧度法、単位円による定義、グラフ、方程式・不等式、加法定理とその派生公式、合成、の6つです。公式の数が数学IIで最も多い単元なので、「覚える公式」と「導ける公式」を分けて整理することが、この単元の勉強の中心になります。

単位円がすべての出発点

角 $\theta$ の三角関数は、単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ で定義されます。$\tan \theta$ はその傾きです。この定義から、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ も、$\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$ のような性質も、すべて図で読めます。公式を丸暗記する前に、三角関数の値(単位円)と三角関数の性質で、単位円から値と符号を読む練習をしてください。

弧度法は、$180^{\circ }=\pi$ ラジアンです。扇形の弧長 $l=r\theta$ と面積 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$ は、弧度法だからこそ簡単に書ける式です(扇形の弧長と面積)。

方程式・不等式は「単位円で解く」

三角方程式 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ は、単位円上で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ になる点を探す問題です。$0\le \theta <2\pi$ なら2つ見つかります。不等式 $\sin \theta >\frac{1}{2}$ は、その2点の間の弧を読みます。三角方程式(基本)と三角不等式(基本)で、この読み方を確実にしてください。角が $2\theta$ や $\theta +\frac{\pi }{3}$ になっているときは、その全体を1つの角とみて範囲を書き直してから単位円に当てはめます。

このサイトの方程式・不等式の解説には、単位円上の解の位置を示す図を付けてあります。範囲の弧を色で示してあるので、式と図を対応させて読んでください。

グラフは「振幅・周期・平行移動」の3つで決まる

$y=A\sin (B\theta +C)+D$ のグラフは、振幅 $|A|$、周期 $\frac{2\pi }{B}$、横の平行移動 $-\frac{C}{B}$、縦の平行移動 $D$ で決まります。三角関数のグラフ(振幅・周期)、グラフの平行移動、標準の振幅・周期・平行移動で、式からグラフ、グラフから式の両方向を練習してください。

加法定理から派生する公式の整理

覚えるのは加法定理 $\sin (\alpha \pm \beta )$、$\cos (\alpha \pm \beta )$、$\tan (\alpha \pm \beta )$ の6本だけで十分です。2倍角の公式は $\beta =\alpha$ とおけば出ます。半角の公式は $\cos 2\alpha$ の式を ${\cos }^2\alpha$ や ${\sin }^2\alpha$ について解いたものです。3倍角は $3\alpha =2\alpha +\alpha$ で加法定理を使えば出ます。積和と和積は、加法定理を足したり引いたりして作ります。

「導ける」ことがわかっていれば、試験中に忘れても復元できます。ただし、2倍角と合成は使用頻度が高いので、結果を覚えておくほうが速いです。加法定理、2倍角の公式、標準の2倍角・半角、積和の公式、応用の3倍角の公式の順に、導出を1度自分でやってから使ってください。

2直線のなす角は、傾きを $\tan$ とみて $\tan$ の加法定理で求めます(標準の2直線のなす角)。図形と方程式との融合問題です。

合成と置き換えは「最大・最小の2大道具」

$a\sin \theta +b\cos \theta$ は $\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$ の形にまとめられます(合成)。これで、$\sin$ と $\cos$ が混ざった式の最大・最小や、方程式が解けるようになります。三角関数の合成と合成を利用する最大・最小で型を確認してください。$\theta$ に範囲がついているときは、$\theta +\alpha$ の範囲を書き直してから、単位円かグラフで最大・最小を読みます(応用の合成の最大・最小(範囲つき))。

$\sin \theta +\cos \theta =t$ とおく置き換えは、$\sin \theta \cos \theta$ を $t$ で表せる($t^2=1+2\sin \theta \cos \theta$)ことを使って、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の対称式を $t$ の2次関数に落とす技術です。$t$ の範囲(合成すると $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$)を求め忘れると、2次関数の最大・最小を間違えます。標準のsinθ+cosθ の置換と応用の同名の問題で、範囲の確認を習慣にしてください。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、弧度法、扇形、単位円、相互関係、性質、特殊角、グラフ、方程式・不等式、加法定理、2倍角の順です。標準12問で $\tan$ からの復元、式の簡約、2倍角の方程式、なす角、半角、合成、置き換え、積和を扱い、応用8問で合成の方程式、範囲つきの最大・最小、3倍角、和積、正接の加法定理へ進みます。

入試では、三角関数は数学IIの中で最も出題頻度が高く、方程式・不等式、最大・最小(合成と置き換え)、他分野との融合(微積分の被積分関数、ベクトルの内積、複素数平面の極形式)として現れます。難関(★★★★)以上には、${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$ の最大・最小、$\cos 3\theta =\cos 2\theta$、$\cos$ の積の値、5倍角と $\cos \frac{\pi }{10}$ など、公式の導出力を問う問題を集めました。