数学II / 三角関数

三角関数の合成

★★ 標準合成

問題

$sin θ + 3 cos θ$ を $r sin (θ + α)$ の形に変形せよ( $r > 0$ 、 $- π < α \leq π$ )。

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合成の手順は、係数のペアから大きさを作り、 $cos$ と $sin$ がその比になる角を単位円で探す、の $2$ 段。係数の点 $(1, 3)$ を図に打つと角が見える。

解答・解説

方針

$a sin θ + b cos θ = a^{2} + b^{2} sin (θ + α)$ 。 $r = a^{2} + b^{2}$ を出し、 $cos α = \frac{a}{r}$ 、 $sin α = \frac{b}{r}$ から $α$ を決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a sin θ + b cos θ$ の2項を、1つの $sin$ にまとめるのが合成だ。

大きさは $r = a^{2} + b^{2}$ 。今回は $1 + 3 = 2$ 。

角 $α$ は、 $cos α = \frac{a}{r}$ 、 $sin α = \frac{b}{r}$ を同時に満たすもの。 $cos α = \frac{1}{2}$ 、 $sin α = \frac{3}{2}$ から $α = \frac{π}{3}$ と確定する。片方だけで決めないのが急所だ。

公式合成

a sin θ + b cos θ = a^{2} + b^{2} sin (θ + α)

、

cos α = \frac{a}{r}

、

sin α = \frac{b}{r}

$a = 1$ 、 $b = 3$ なので

$r = 1^{2} + (3)^{2} = 4 = 2$

$α$ は $cos α = \frac{1}{2}$ 、 $sin α = \frac{3}{2}$ を満たす角、すなわち $α = \frac{π}{3}$ 。

$sin θ + 3 cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{3})$

合成: 点(a,b)=(1,√3)、r=√(1+3)=2、α=π/3。sinθ+√3cosθ=2sin(θ+π/3)

発展 — 一歩先へ。 合成は「2つの波を足すと、1つの波になる」という物理的にも重要な事実の数式版だ。同じ周期の波は、いくつ重ねても振幅と位相の違う1つの波にまとまる。

係数の点 $(a, b)$ を距離と角で読む見方は、数学Cの複素数平面の極形式そのものである。合成の計算は、複素数 $a + bi$ を $r (cos α + i sin α)$ に直す練習を、実はもう始めているのだ。

答

$2 sin (θ + \frac{π}{3})$

別解

係数を「点」として図示すると、公式が絵に変わる。

係数の組から点 $(a, b) = (1, 3)$ を座標平面に打つ。

原点からの距離が $r$ : $1 + 3 = 2$
$x$ 軸からの角が $α$ : 点 $(1, 3)$ は $6 0^{\circ}$ 方向なので $α = \frac{π}{3}$

$sin θ + 3 cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{3})$

このしくみは、加法定理の逆再生だ。 $r sin (θ + α) = (r cos α) sin θ + (r sin α) cos θ$ を展開して係数を見比べると、 $(a, b) = (r cos α, r sin α)$ — まさに極座標の関係になっている。

「係数の点を打って、距離と角を読む」。この絵を1枚描く癖をつけると、 $α$ の象限を間違える事故( $a$ や $b$ が負の場合)が消える。

ポイント

$r = a^{2} + b^{2}$ 、 $α$ は $cos α = \frac{a}{r}$ ・ $sin α = \frac{b}{r}$ 。
$sin$ の係数が $a$ 、 $cos$ の係数が $b$ 。

よくある間違い

$cos α$ と $sin α$ の対応を逆にする( $cos α$ が $sin θ$ の係数側)
$r$ を $a + b$ とする( $a^{2} + b^{2}$ )
$α$ を $tan α$ だけで決めて、象限(範囲 $- π < α \leq π$ )の確認を飛ばす