正接の加法定理の応用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\alpha +\beta$ そのものは直接には求めにくい。分かっているのは $\tan \alpha ,\tan \beta$ の値だけだ。

そこで $\alpha +\beta$ でなく $\tan (\alpha +\beta )$ に注目する。これなら正接の加法定理で計算できる。

値が出たら、$\alpha ,\beta$ が鋭角という条件で $\alpha +\beta$ の範囲を絞り、角を $1$ つに確定する。$\tan$ の値と角の範囲で角を特定する、という発想が核だ。

代入する。

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$$

$\alpha$、$\beta$ はともに鋭角で、$\tan$ が小さいので実際は小さい角。$0<\alpha +\beta <\pi$ で $\tan (\alpha +\beta )=1$ となるのは

$$\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$$

発展 — 一歩先へ。 $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$ は、より広い仲間の $1$ 例だ。$\arctan \frac{1}{p}+\arctan \frac{1}{q}=\frac{\pi }{4}$ が成り立つ条件は、加法定理で $\tan$ の和を $1$ とおくと $(p-1)(q-1)=2$ と整理できる。

正の整数では $(p,q)=(2,3)$ だけがこれを満たす。だからこの等式は、ほとんど唯一の「整数版」なのだ。

同じ発想で $\arctan$ を足し引きして $\frac{\pi }{4}$ を作る式はたくさんある。マチンの公式 $\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ はその代表で、円周率 $\pi$ を高精度で計算する古典的な道具として使われてきた。

別解

別解 — 直角三角形から $\sin ,\cos$ を読む(苦手な人向けの直感ルート)。 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ は「対辺 $1$、隣辺 $2$」の直角三角形。斜辺は三平方で $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。ここから $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$、$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$ と読める。

同じく $\tan \beta =\frac{1}{3}$ は「対辺 $1$、隣辺 $3$」の三角形。斜辺は $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ で、$\sin \beta =\frac{1}{\sqrt{10}}$、$\cos \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}$。

これらを $\tan$ ではなく $\cos$ の加法定理に入れると、和の角の $\cos$ が直接出る。

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{6-1}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

$\alpha ,\beta$ がともに鋭角だから、$\alpha +\beta$ は $0$ と $\pi$ の間にある。その範囲で $\cos$ は $1$ から $-1$ へ一方向に減るので、$\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{\sqrt{2}}$ をみたす角はただ $1$ つ。それは $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$ だ。

$\tan (\alpha +\beta )=1$ から範囲で角を絞る本解と同じ答え。$\cos$ の値が正と分かった時点で鋭角と確定するので、角の絞り込みがより素直になる。