数学II / 三角関数

三角不等式

★★ 標準三角不等式

問題

$0 \leq θ < 2 π$ のとき、不等式 $2 sin θ - 1 \geq 0$ を解け。

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まず $sin θ$ について解いた形に直す。単位円で『高さがその値以上』の部分を塗ると、 $θ$ の範囲がそのまま読める。

解答・解説

$sin θ \geq \frac{1}{2}$ に直す。単位円で高さ( $y$ 座標)が $\frac{1}{2}$ 以上の角の範囲をさがす。境界は $sin θ = \frac{1}{2}$ 。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず $sin θ \geq \frac{1}{2}$ と、主役を裸にする。

単位円で $sin θ$ は点の高さ( $y$ 座標)だ。「高さが $\frac{1}{2}$ 以上」の円弧を探せばよい。

境界は $sin θ = \frac{1}{2}$ となる $θ = \frac{π}{6}$ と $\frac{5 π}{6}$ 。その間の上側の弧が答えの範囲になる。

重要三角不等式は単位円で、条件を満たす角の範囲を読む

$2 sin θ - 1 \geq 0$ を直すと $sin θ \geq \frac{1}{2}$ 。単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ 以上の点。

境界 $sin θ = \frac{1}{2}$ は $θ = \frac{π}{6}$ と $\frac{5}{6} π$ 。高さが $\frac{1}{2}$ 以上なのは、この2つの角の間(上側)。

$\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5}{6} π$

高さ 1/2 以上の角の範囲(π/6 〜 5π/6)

発展 — 一歩先へ。 $cos θ \geq \frac{1}{2}$ なら「横位置」の読みになり、範囲が $0$ をまたいで2つの弧(つなげれば1つ)になる。関数によって範囲の「割れ方」が変わることを、単位円の縦読み・横読みで体感しておきたい。

角が $2 θ$ や $θ + \frac{π}{3}$ に化けた不等式は、まずその塊の範囲を解いてから $θ$ に戻す2段構えになる。置きかえの型( $t$ の範囲を解いて戻す)がここでも背骨だ。

答

$\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5}{6} π$

波形グラフで読む方法も、同じ答えを別の絵で見せてくれる。

$y = sin θ$ の波( $0 \leq θ < 2 π$ の1周期)を描き、水平線 $y = \frac{1}{2}$ を引く。

波が水平線の上に出ている区間が、答えの範囲だ。

波は $θ = \frac{π}{6}$ で線を上に横切り、山( $θ = \frac{π}{2}$ )を越えて、 $θ = \frac{5 π}{6}$ で下に横切る。だから

$\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$

単位円は「角と値の対応」が正確に読め、波形は「範囲のつながり方」が一目で見える。不等号の向きが逆( $\leq \frac{1}{2}$ )になったときに範囲が2つに割れる様子も、波形なら間違えようがない。両方の絵を持って、問題ごとに見やすい方を選ぼう。