数学II / 三角関数

正弦の5乗を1次の正弦で表す(ド・モアブルと二項)

実戦編三角関数複素数二項定理n倍角単元横断

問題

$sin^{5} θ$ を $sin θ, sin 3 θ, sin 5 θ$ の $1$ 次式で表せ。

ヒントを見る

$sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ を $5$ 乗して二項展開。指数が対になる項を $2 i sin m θ$ にまとめると、 $sin θ, sin 3 θ, sin 5 θ$ が出る。

解答・解説

方針

$sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ の $5$ 乗を二項展開し、 $e^{im θ} - e^{- im θ} = 2 i sin m θ$ でまとめる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「5乗を1次の $sin$ たちで表せ」。加法定理を繰り返しても着くが、指数の形にすると一直線になる。

$sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ (オイラーの表記。 $e^{i θ}$ は $cos θ + i sin θ$ の略記)と書いて5乗する。

二項定理で開くと $e^{\pm 5 i θ}, e^{\pm 3 i θ}, e^{\pm i θ}$ が対で現れ、各対が $2 i sin (m θ)$ にまとまる。べきの世界では「掛け算=指数の足し算」なので、何倍角が出るかが足し算で見える。

定理

sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

、

e^{im θ} - e^{- im θ} = 2 i sin m θ

① 5乗を二項展開。 $(2 i)^{5} = 32 i^{5} = 32 i$ に注意して $(2 i sin θ)^{5} = (e^{i θ} - e^{- i θ})^{5} = k = 0 \sum 5 (k 5) (e^{i θ})^{5 - k} (- e^{- i θ})^{k} = k = 0 \sum 5 (- 1)^{k} (k 5) e^{i (5 - 2 k) θ} .$ ② 共役の対でまとめる。 指数 $5 - 2 k$ は $k = 0, \dots, 5$ で $5, 3, 1, - 1, - 3, - 5$ 。対にすると $(e^{5 i θ} - e^{- 5 i θ}) - 5 (e^{3 i θ} - e^{- 3 i θ}) + 10 (e^{i θ} - e^{- i θ}) = 2 i sin 5 θ - 5 \cdot 2 i sin 3 θ + 10 \cdot 2 i sin θ .$ よって $32 i sin^{5} θ = 2 i (sin 5 θ - 5 sin 3 θ + 10 sin θ)$ 。

③ 整理する。 両辺を $2 i$ で割り $16$ で割ると $sin^{5} θ = \frac{10 sin θ - 5 sin 3 θ + sin 5 θ}{16} .$

まとめ $sin θ$ を指数関数に直して $5$ 乗を二項展開、共役の対を $2 i sin m θ$ にまとめると、 $sin^{5} θ = \frac{10 sin θ - 5 sin 3 θ + sin 5 θ}{16}$ 。三角(n倍角)・複素数・二項の融合。積分 $\int sin^{5} θ d θ$ などにも直結する。

発展 — 一歩先へ。 線形化は積分と相性が抜群だ。 $\int_{0}^{π} sin^{5} θ d θ = \frac{1}{16} (10 \cdot 2 - 5 \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{5}) = \frac{16}{15}$ と、各 $sin m θ$ の積分を足すだけで出る。一般に $sin$ や $cos$ のべきを1次の和に直す操作は、フーリエ級数の有限版である。

答

$sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ を $5$ 乗して二項展開すると、 $sin^{5} θ = \frac{10 sin θ - 5 sin 3 θ + sin 5 θ}{16}$ 。

別解

別解 — 複素数を使わず、半角と積和で下ろす(苦手な人向け)。 $sin^{5} θ = sin θ \cdot (sin^{2} θ)^{2}$ と割り、まず偶数乗を次数下げする。

$sin^{4} θ = (\frac{1 - cos 2 θ}{2})^{2} = \frac{3 - 4 cos 2 θ + cos 4 θ}{8}$

( $cos^{2} 2 θ = \frac{1 + cos 4 θ}{2}$ を使った)。次に $sin θ$ を掛け、積和の公式で開く。

$sin θ cos 2 θ = \frac{sin 3 θ - sin θ}{2}, sin θ cos 4 θ = \frac{sin 5 θ - sin 3 θ}{2} .$

代入して整理すると

$sin^{5} θ = \frac{3 sin θ - 2 ( sin 3 θ - sin θ ) + \frac{1}{2} ( sin 5 θ - sin 3 θ )}{8} = \frac{10 sin θ - 5 sin 3 θ + sin 5 θ}{16} .$

半角(次数下げ)と積和だけの、数IIの道具で完結するルート。指数(本解)は速いが、こちらは1段ずつ確かめながら進める安心感がある。

ポイント

$sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ を $5$ 乗して二項展開。
$(2 i)^{5} = 32 i$ 、共役の対を $2 i sin m θ$ にまとめる。
$sin^{5} θ = \frac{10 sin θ - 5 sin 3 θ + sin 5 θ}{16}$ 。

よくある間違い

$(2 i)^{5} = 32 i$ の処理( $i^{5} = i$ )を誤り、全体の符号が崩れる。
二項係数 $1, 5, 10$ と $e^{\pm im θ}$ のペアの対応を誤る( $e^{5 i θ}$ と $- e^{- 5 i θ}$ が組で $2 i sin 5 θ$ )。
検算しない( $θ = \frac{π}{2}$ : 左辺 $1$ 、右辺 $\frac{10 + 5 + 1}{16} = 1$ を一度確かめれば係数ミスに気づける)。