三角方程式(基本)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角方程式は、単位円で解く。

$$\sin \theta =\frac{1}{2}$$

$\sin$ は $y$ 座標。だから「$y$ 座標が $\frac{1}{2}$ になる点」を、単位円の上で探す。

水平線 $y=\frac{1}{2}$ を引くと、円と $2$ か所で交わる。

• 右上(第 $1$ 象限): $\theta =\frac{\pi }{6}$
• 左上(第 $2$ 象限): $\theta =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5}{6}\pi$

$$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$$

$2$ つある。$\frac{\pi }{6}$ だけで終わらせるのが、最大のミスだ。

「水平線は円を $2$ 回切る」 — この絵を、いつも頭に置いておく。

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ は、単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ の点。高さ $\frac{1}{2}$ の点は、第1象限と第2象限に1つずつある。

第1象限では $\theta =\frac{\pi }{6}$。もう1つは $y$ 軸に関して対称な位置で、$\theta =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5}{6}\pi$。

$$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$$

発展 — 一歩先へ。 三角方程式の解が「$2$ つ」「無限個」になるのは、$\sin$ が $1$ 対 $1$ の関数ではないからだ。

$$\sin \frac{\pi }{6}=\sin \frac{5}{6}\pi =\sin \frac{13}{6}\pi =\cdots =\frac{1}{2}$$

違う $\theta$ が、同じ値を返す。 だから「$\sin$ の逆」を考えようとすると、値が $1$ つに決まらない。

しかし、逆関数がほしい。 「$\sin \theta =\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は?」に、$1$ つの答えを返してくれる関数がほしい。

そこで、範囲を狭めて、無理やり $1$ 対 $1$ にする。

$$-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\text{に限れば、sin は単調増加(1 対 1)}$$

この範囲での逆関数を $\arcsin$(アークサイン、${\sin }^{-1}$)という。

$$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$$

$\frac{5}{6}\pi$ は返ってこない(範囲外だから)。逆関数は、$1$ つの値しか返さない — それが約束だ。

電卓の ${\sin }^{-1}$ ボタンは、これを計算している。 だから「${\sin }^{-1}(0.5)$」を押すと $30^{\circ }$ しか出てこない。もう $1$ つの解 $150^{\circ }$ は、自分で見つけなければならない。

電卓は、方程式を解いてくれない。 逆関数の値を $1$ つ返すだけだ。「解は $2$ つある」と知っているのは、あなただけである。

同じ話が、$\cos$ と $\tan$ にもある。

• $\arccos$: $0\leqq \theta \leqq \pi$ に制限
• $\arctan$: $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ に制限

「逆関数を作るために、定義域を制限する」 — この作法は、$y=x^2$ の逆関数 $y=\sqrt{x}$($x\geqq 0$ に制限)でも同じだった。

逆関数は、$1$ 対 $1$ でなければ作れない。 そして三角関数は周期的なので、本質的に $1$ 対 $1$ になりえない — だから制限が必要なのだ。

「解を全部書く」という高校数学の要求は、電卓が答えられない部分を、人間が引き受けることを意味している。

別解

グラフで解くルートも押さえておこう。単位円とグラフ、$2$ つの絵を持てば、解の見落としがなくなる。

グラフルート: $y=\sin \theta$ と $y=\frac{1}{2}$ の交点を探す。

$0\leqq \theta <2\pi$ の範囲で、$\sin$ のグラフを描く。山が $1$ つ($\theta =\frac{\pi }{2}$ で最大 $1$)、谷が $1$ つ($\theta =\frac{3\pi }{2}$ で最小 $-1$)の波だ。

そこへ、水平線 $y=\frac{1}{2}$ を引く。

山の部分で、$2$ 回交わる。($0$ から上がっていく途中で $1$ 回、山を越えて下がる途中で $1$ 回。)

$$\theta =\frac{\pi }{6}(\text{上り}),\theta =\frac{5}{6}\pi (\text{下り})$$

谷の部分($y$ が負)では交わらない($\frac{1}{2}>0$ だから)。

答えは $2$ つ ✓ 単位円ルートと一致。

$2$ つの絵の使い分け。

「解が何個あるか」を確実に知りたいなら、グラフが強い。

たとえば $\sin \theta =0.9$ なら? 水平線 $y=0.9$ は山の上のほうを切る — やはり $2$ 交点。

$\sin \theta =1$ なら? 水平線が山の頂点にちょうど接する — $1$ 交点だけ($\theta =\frac{\pi }{2}$)。

$\sin \theta =1.2$ なら? 水平線が山より上を通る — 交点なし(解なし)。

$\sin \theta =-0.5$ なら? 谷の部分で $2$ 交点($\theta =\frac{7}{6}\pi$、$\frac{11}{6}\pi$)。

グラフを描けば、解の個数が一目で分かる。

そして、$\cos$ の方程式では話が違う。

$$\cos \theta =\frac{1}{2}$$

単位円では、垂直線 $x=\frac{1}{2}$ を引く — 上下 $2$ か所で交わる($\theta =\frac{\pi }{3}$、$\frac{5}{3}\pi$)。

$0\leqq \theta <2\pi$ の範囲なら、$\cos$ も解は $2$ 個である。

($0\leqq \theta \leqq \pi$ に限れば $\cos$ の解は $1$ 個だが、$2\pi$ まで許すと $2$ 個になる。範囲によって個数が変わる。)

大切なのは「範囲の確認」だ。 $0\leqq \theta <2\pi$ なのか、$-\pi <\theta \leqq \pi$ なのか、範囲の指定がないのか — 問題文の範囲を、最初に丸で囲む習慣をつけたい。

範囲の指定がなければ、解は無限にある。

$$\theta =\frac{\pi }{6}+2n\pi ,\theta =\frac{5}{6}\pi +2n\pi (n\text{は整数})$$

$2\pi$ ごとに、同じ解が繰り返される — 周期関数だからだ。「一般解」と呼ばれるこの形も、書けるようにしておきたい。