数学II / 三角関数

合成を使う三角方程式

★★★ 応用三角方程式合成

問題

$0 \leq θ < 2 π$ のとき、方程式 $3 sin θ + cos θ = 1$ を解け。

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左辺を $1$ つの $sin$ に合成するのが第一手。そのあとは基本の方程式だが、角を置きかえたぶん、解を拾う範囲がずれることに注意。

解答・解説

方針

左辺を合成して $r sin (θ + α)$ の形にする。すると $sin (θ + α) =$ (定数)の基本形になり、単位円で解ける。 $θ + α$ の範囲に注意。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3 sin θ + cos θ = 1$ は $sin$ と $cos$ が足し算で混ざっている。このままでは単位円で直接は解けない。

左辺を合成して $1$ つの $sin$ にまとめれば、 $sin (θ + α) =$ 定数という基本形になる。

$2$ つの波が混ざった方程式は、合成で単純化してから単位円で解く。中身の角 $θ + α$ の動く範囲に注意して解を拾う。

公式合成

a sin θ + b cos θ = r sin (θ + α)

で基本形に直す

① 左辺を合成する。 係数は $3$ と $1$ 。 $r = (3)^{2} + 1^{2} = 2$ が前に出て、 $α$ は $cos α = \frac{3}{2}$ ・ $sin α = \frac{1}{2}$ から $\frac{π}{6}$ 。

$2 sin (θ + \frac{π}{6}) = 1 \Rightarrow sin (θ + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

これで「 $sin (角) = \frac{1}{2}$ 」という基本形になった。

② 中身の角が動く範囲を作る。 ここが大事。 $θ$ そのものでなく、中身の $θ + \frac{π}{6}$ の範囲で解を探す。 $0 \leq θ < 2 π$ の各辺に $\frac{π}{6}$ を足して

$\frac{π}{6} \leq θ + \frac{π}{6} < 2 π + \frac{π}{6}$

③ その範囲で $sin = \frac{1}{2}$ になる角を拾う。 単位円で高さが $\frac{1}{2}$ になるのは $\frac{π}{6}$ と $\frac{5}{6} π$ 。上の範囲に入るのはこの2つ( $\frac{13}{6} π$ は範囲外)。

sin(θ+π/6)=1/2 になる θ+π/6 は π/6・5π/6

$θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}, \frac{5}{6} π$

④ $θ$ に戻す。 それぞれから $\frac{π}{6}$ を引く。

$θ = 0, \frac{2}{3} π$

まとめ:合成して基本形にしたら、中身の角の範囲で解を探すのがコツ。 $θ$ の範囲をそのまま使うと解を取りこぼす。最後に $θ$ へ戻すのを忘れない。

発展 — 一歩先へ。 この方程式の $2$ つの解 $θ = 0$ と $θ = \frac{2}{3} π$ は、じつは対称な位置にある。合成した波 $2 sin (θ + \frac{π}{6})$ が最大になるのは $θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 、すなわち $θ = \frac{π}{3}$ のときだ。

$2$ つの解 $0$ と $\frac{2}{3} π$ は、この山の位置 $\frac{π}{3}$ をはさんでちょうど左右対称になっている( $0$ と $\frac{2}{3} π$ の平均が $\frac{π}{3}$ )。 $sin$ が $\frac{π}{2}$ について左右対称だからだ。

だから $sin (θ + α) =$ 定数の形は、 $1$ つ解が見つかれば、山の位置に関する折り返しでもう $1$ つが得られる。合成の $α$ と山の位置さえ押さえれば、解の配置が読める。

答

$θ = 0, \frac{2}{3} π$

別解

別解 — 直線と単位円の交点として解く(苦手な人向けの図形ルート)。 $θ$ に対応する単位円上の点を $(x, y) = (cos θ, sin θ)$ とおく。すると与えられた式 $3 sin θ + cos θ = 1$ は、 $x$ と $y$ の関係

$x + 3 y = 1$

になる。これは直線だ。つまり「単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $x + 3 y = 1$ の交点」を求めればよい。

直線から $x = 1 - 3 y$ とし、円に代入する。

$(1 - 3 y)^{2} + y^{2} = 1 ⟹ 4 y^{2} - 23 y = 0 ⟹ 2 y (2 y - 3) = 0$

よって $y = 0$ または $y = \frac{3}{2}$ 。

$y = 0$ のとき $x = 1$ 。点 $(1, 0)$ だから $θ = 0$ 。
$y = \frac{3}{2}$ のとき $x = 1 - 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$ 。点 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ は第 $2$ 象限で $θ = \frac{2}{3} π$ 。

合成を使う本解と同じく $θ = 0, \frac{2}{3} π$ にたどり着く。合成の公式を思い出せなくても、「円と直線の交点」という座標の言葉に翻訳すれば、 $2$ 次方程式を解くだけで答えが出る。

ポイント

合成 → $sin (θ + α) =$ 定数の基本形。
$θ + α$ の範囲を作り、その中で解を拾う(範囲のずれに注意)。

よくある間違い

合成で位相 $α$ を求めるとき $cos α, sin α$ の対応を取り違え、 $α = \frac{π}{6}$ を $\frac{π}{3}$ としてしまう。
中身の角 $θ + \frac{π}{6}$ の範囲を作らず、 $θ$ の範囲のまま $sin = \frac{1}{2}$ を解いて $θ$ に戻し忘れる。
範囲 $\frac{π}{6} \leq θ + \frac{π}{6} < \frac{13}{6} π$ の右端まで含めてしまい、 $θ + \frac{π}{6} = \frac{13}{6} π$ から余分な解 $θ = 2 π$ を拾う。