三角関数の合成を用いる不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin \theta +\cos \theta \ge 1$。左辺は $\sin$ と $\cos$ が足し算で混ざっている。

こういう「$a\sin \theta +b\cos \theta$」は、合成して $1$ つの $\sin$(または $\cos$)にまとめるのが基本。$\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ になる。

すると不等式は $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$。角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ の範囲で $\sin$ が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 以上になる区間を探す。

① 合成する。

$$\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge 1$$

すなわち

$$\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$$

② 角の範囲で解く。 $0\le \theta <2\pi$ より $\varphi =\theta +\frac{\pi }{4}$ は $\frac{\pi }{4}\le \varphi <2\pi +\frac{\pi }{4}$ を動く。$\sin \varphi \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは $\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{3\pi }{4}$(この範囲では、それ以外に $\sin \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ の区間はない)。

③ $\theta$ に戻す。 $\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4}$ より

$$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

まとめ:$\sin +\cos$ の不等式は「合成して $1$ つの $\sin$」。$\sin (\theta +\frac{\pi }{4})\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ を角の範囲で解き、$\theta$ に戻す。中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ が動く範囲を正しくとるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 $a\sin \theta +b\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )$($r=\sqrt{a^2+b^2}$)の合成は、点 $(a,b)$ の極形式そのもの。$(1,1)$ の極形式が $\sqrt{2}$、偏角 $\frac{\pi }{4}$ だから $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。合成は「振幅と位相を持つ$1$つの波にまとめる」操作で、物理の波の重ね合わせと同じ考えだ。

別解

別解 — 単位円で「$x+y\ge 1$ の弧」を見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $\theta$ に対応する単位円上の点は $(\cos \theta ,\sin \theta )$。すると $\sin \theta +\cos \theta$ は、その点の $x$ 座標 $+$ $y$ 座標。

不等式 $\sin \theta +\cos \theta \ge 1$ は「単位円上で $x+y\ge 1$ となる点」。直線 $x+y=1$ は $(1,0)$ と $(0,1)$ を通る。

この直線より上側(原点と反対側)にある単位円の部分は、$(1,0)$ から $(0,1)$ へ向かう第 $1$ 象限の弧。角でいえば $\theta =0$ から $\theta =\frac{\pi }{2}$ まで。

よって $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。合成して $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く本解と同じ区間。円上の点の「$x+y$」と直線を重ねると、答えの弧が目に見える。