60°をはさんで対称な3つの正弦の積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (2)の角 $20^{\circ },40^{\circ },80^{\circ }$ は等間隔ではないので、和積の定番が効かない。だが $40^{\circ }=60^{\circ }-20^{\circ }$、$80^{\circ }=60^{\circ }+20^{\circ }$。$60^{\circ }$ をはさんで対称な3つ組だ。

この形の積が3倍角1個に化けるのが(1)の恒等式である。

(1)の証明は、対称な2つの積 $\sin (60^{\circ }-\theta )\sin (60^{\circ }+\theta )$ を先に処理するのが急所。加法定理の積を展開すると、2乗の差 ${\sin }^{2}60^{\circ }-{\sin }^2\theta$ に潰れる。

① 対称な2つの積を潰す。 加法定理で展開した積は

$$\sin (A-B)\sin (A+B)=(\sin A\cos B{)}^2-(\cos A\sin B{)}^2={\sin }^{2}A(1-{\sin }^{2}B)-(1-{\sin }^{2}A){\sin }^{2}B={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B$$

$A=60^{\circ },B=\theta$ として

$$\sin (60^{\circ }-\theta )\sin (60^{\circ }+\theta )={\sin }^{2}60^{\circ }-{\sin }^2\theta =\frac{3}{4}-{\sin }^2\theta$$

② $\sin \theta$ を掛けて3倍角へ((1)の完成)。

$$\sin \theta \left(\frac{3}{4}-{\sin }^2\theta \right)=\frac{3\sin \theta -4{\sin }^3\theta }{4}=\frac{1}{4}\sin 3\theta$$

③ (2) に適用する。 $\theta =20^{\circ }$ とすると

$$\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{1}{4}\sin 60^{\circ }=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$$

まとめ: $60^{\circ }$ をはさむ対称積は「3倍角の因数分解された姿」— 3倍角の公式 $3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ が3つの1次式の積に割れていることの言い換えだ。等間隔に見えない角の組も、中心をもつ対称形に読み替えられないかを疑うとよい。

発展 — 一歩先へ。 (1)は3倍角の公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を「3つの1次因子の積」に割った姿でもある。さらに一般に、$\sin \frac{\pi }{n}\sin \frac{2\pi }{n}\cdots \sin \frac{(n-1)\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$ という美しい積の公式が知られていて、本問はその世界の入り口にある。

別解

積和を2回、機械的に(公式発見が不要なルート)。 (1)の恒等式に気づかなくても、(2)は積和の公式だけで押し切れる。

まず後ろ2つを積和で:

$$\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{\cos 40^{\circ }-\cos 120^{\circ }}{2}=\frac{\cos 40^{\circ }+\frac{1}{2}}{2}$$

$\sin 20^{\circ }$ を掛けて、もう一度積和($\sin 20^{\circ }\cos 40^{\circ }$)を使う:

$$\sin 20^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{\sin 60^{\circ }+\sin (-20^{\circ })}{2}=\frac{\sin 60^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{2}$$

合わせると

$$\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{\sin 60^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{4}+\frac{\sin 20^{\circ }}{4}=\frac{\sin 60^{\circ }}{4}=\frac{\sqrt{3}}{8}$$

途中で $\sin 20^{\circ }$ がぴったり打ち消し合うのが見どころだ。ひらめき(対称形の発見)の代わりに、積和という機械を2回まわす。確実さで選ぶならこちら、構造の美しさなら本解、と使い分けたい。