sinθ+cosθ の置換(2)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin 2\theta$ と $\sin \theta +\cos \theta$ が混ざった式だ。まともに $\theta$ で扱うのは重い。

そこで $t=\sin \theta +\cos \theta$ とひとかたまりに置く。$2$ 乗すれば $\sin 2\theta =t^2-1$ が出て、式全体が $t$ の $2$ 次関数になる。

あとは $t$ の動く範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ の中で、$2$ 次関数の最大最小を調べればよい。頂点が範囲の内か端かを見極める。

① なぜ $\sin 2\theta =t^2-1$ になるかを確かめる。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ を2乗すると

$$t^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\sin \theta \cos \theta =1+\sin 2\theta$$

（${\sin }^2+{\cos }^2=1$、$2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ を使った。）だから $\sin 2\theta =t^2-1$。

② なぜ $t$ の範囲が $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ かを確かめる。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ を合成すると $t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。$\sin$ の部分は $-1$ から $1$ まで動くので、$t$ は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ まで。

③ $y$ を $t$ で表す。

$$y=(t^2-1)+2\sqrt{2}t=t^2+2\sqrt{2}t-1=(t+\sqrt{2}{)}^2-3$$

④ $t$ の2次関数として最大最小をとる。 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$、頂点は $t=-\sqrt{2}$(範囲の左端)。最小は頂点 $t=-\sqrt{2}$ で $-3$。最大は反対の端 $t=\sqrt{2}$ で

$$(\sqrt{2}+\sqrt{2}{)}^2-3=(2\sqrt{2}{)}^2-3=8-3=5$$

最大値 $5$、最小値 $-3$。

まとめ:$\sin \theta +\cos \theta$ が出たら $t$ とおく。2乗で $\sin 2\theta =t^2-1$ が現れ、合成で範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ が決まる——この2つが置換のカギで、あとは $t$ の2次関数の問題になる。

発展 — 一歩先へ。 置換の心臓は $\sin 2\theta =t^2-1$ という関係($t=\sin \theta +\cos \theta$)だ。これは、点 $(t,\sin 2\theta )$ が放物線 $\sin 2\theta =t^2-1$ の上を動く、と読める。

$\theta$ が $1$ 周すると、$t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を往復し、この放物線の弧をなぞる。もとの $y$ は、その弧の上で $\sin 2\theta$ と $t$ を混ぜた量になっている。

こうして「三角関数の最大最小」が「放物線上での $1$ 変数の最大最小」に姿を変える。角の問題を曲線上の問題に翻訳するこの見方は、媒介変数で表された量の最大最小へそのままつながる。

別解

別解 — 微分して増減を調べる(得意な人向けの解析ルート)。 $y=\sin 2\theta +2\sqrt{2}(\sin \theta +\cos \theta )$ を $\theta$ で微分する。

$$y^{\prime }=2\cos 2\theta +2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )$$

ここで $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta )$ と因数分解できるので、$\cos \theta -\sin \theta$ でくくれる。

$$y^{\prime }=2(\cos \theta -\sin \theta )(\sin \theta +\cos \theta +\sqrt{2})$$

$y^{\prime }=0$ となるのは次のとき。

• $\cos \theta -\sin \theta =0$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{5}{4}\pi$。
• $\sin \theta +\cos \theta +\sqrt{2}=0$、すなわち $\sin \theta +\cos \theta =-\sqrt{2}$ から $\theta =\frac{5}{4}\pi$。

$\theta$ は $1$ 周ぶん動くので端はなく、最大最小はこれらの点でとる。値を入れると

$$\theta =\frac{\pi }{4}:y=1+2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=5,\theta =\frac{5}{4}\pi :y=1+2\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})=-3.$$

よって最大値 $5$、最小値 $-3$。置換を使う本解と同じ答えだ。微分した $y^{\prime }$ がきれいに因数分解でき、$\theta =\frac{\pi }{4}$(山)と $\frac{5}{4}\pi$(谷)がそのまま出てくるのが気持ちいい。