2倍角の公式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 倍角の公式を使う。

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$ $$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$$

$\sin \theta$ は与えられている。$\cos \theta$ が要る。

まず $\cos \theta$ を求める。 相互関係から

$${\cos }^2\theta =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}⟹\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$$

第 $1$ 象限なので $\cos \theta >0$。

$$\cos \theta =\frac{4}{5}$$

あとは代入するだけ。

$$\sin 2\theta =2\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$

$$\cos 2\theta =1-2\times \frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$$

$\cos 2\theta$ には $3$ つの形がある — どれを使ってもよいが、与えられている値($\sin \theta$)で書ける形を選ぶのがコツだ。

まず $\cos \theta$。第1象限なので正で

$$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$$

$\sin 2\theta$:

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$

$\cos 2\theta$:

$$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =1-2\cdot \frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$$

発展 — 一歩先へ。 $2$ 倍角の公式を逆に読むと、積分で不可欠な「次数下げ」の道具になる。

$$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta ⟹{\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$$

${\sin }^2$($2$ 次)が、$\cos 2\theta$($1$ 次)に化けた。

なぜこれが重要か。 $\int {\sin }^{2}xdx$ は、そのままでは計算できない。しかし

$$\int {\sin }^{2}xdx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$$

次数を下げれば、積分できる。 数IIIの積分で、この変形は何十回と使うことになる。

同じ発想で、${\sin }^{4}x$ も ${\sin }^{6}x$ も積分できる($2$ 回、$3$ 回と次数下げを繰り返す)。

そして、この「次数下げ」は、物理でも決定的だ。

交流電流の"実効値"。 家庭のコンセントは「$100$ V」だが、実際の電圧は

$$V(t)=V_0\sin (\omega t)$$

と振動していて、瞬間ごとに変わる($+141$ V から $-141$ V まで)。では「$100$ V」とは何か。

電力は $V^2$ に比例する。 その平均をとると

$$\overline{V^2}=V_0^2\cdot \overline{{\sin }^2(\omega t)}=V_0^2\times \frac{1}{2}$$

(${\sin }^2$ の平均が $\frac{1}{2}$ になるのは、${\sin }^2=\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ で $\cos$ の平均が $0$ だから!)

$$V_{\text{実効}}=\sqrt{\overline{V^2}}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}\approx \frac{141}{1.41}=100\text{V}$$

コンセントの「$100$ V」は、${\sin }^2$ の平均が $\frac{1}{2}$ であることから来ている。

$2$ 倍角の公式が、家庭の電圧の定義を支えている。 数学の公式は、教室の外で、静かに働き続けている。

別解

$\cos 2\theta$ の $3$ つの形が、本当に全部同じ値になるか確かめよう。 そして、答えの妥当性を「$2\theta$ がどこにいるか」で検証する。

$\cos 2\theta$ の $3$ つの顔。

$$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$$

$3$ つとも計算してみる。($\sin \theta =\frac{3}{5}$、$\cos \theta =\frac{4}{5}$)

形1: ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

$$\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$$

形2: $2{\cos }^2\theta -1$

$$2\times \frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$

形3: $1-2{\sin }^2\theta$

$$1-2\times \frac{9}{25}=\frac{25-18}{25}=\frac{7}{25}$$

$3$ つとも $\frac{7}{25}$ ✓ 完全に一致した。

なぜ $3$ つも形があるのか。 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使って、$\sin$ と $\cos$ を行き来できるからだ。中身は同じ、見た目が違うだけ。

使い分けの指針。

• $\sin \theta$ だけが分かっている → 形3($1-2{\sin }^2\theta$)
• $\cos \theta$ だけが分かっている → 形2($2{\cos }^2\theta -1$)
• 両方分かっている / 積分で使う → 形1(${\cos }^2-{\sin }^2$)

「与えられた情報で書ける形」を選ぶ。 今回は $\sin \theta$ が与えられているので、形3が最短だった。

さて、答えの検証をしよう。$2$ つの方法で確かめる。

検証1: ${\sin }^{2}2\theta +{\cos }^{2}2\theta =1$ か?

$${\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\left(\frac{7}{25}\right)}^2=\frac{576+49}{625}=\frac{625}{625}=1✓$$

ぴったり $1$。 相互関係は、どんな角でも成り立つ — $2\theta$ でも成り立つはずだから、これは強力な検算になる。

($24$-$7$-$25$ という直角三角形の比が現れた! $24^2+7^2=576+49=625=25^2$。$3$-$4$-$5$ の $2$ 倍角から、新しいピタゴラス数が生まれたのは面白い。)

検証2: $2\theta$ はどの象限にいるか?

$\sin \theta =\frac{3}{5}=0.6$、$\cos \theta =\frac{4}{5}=0.8$ から、$\theta \approx 36.87^{\circ }$。

$$2\theta \approx 73.74^{\circ }$$

第 $1$ 象限だ。 ということは $\sin 2\theta >0$、$\cos 2\theta >0$ のはず。

$$\sin 2\theta =\frac{24}{25}=0.96>0✓$$ $$\cos 2\theta =\frac{7}{25}=0.28>0✓$$

符号が合っている。 さらに、$73.74^{\circ }$ は $90^{\circ }$ に近いので、$\sin$ は $1$ に近く($0.96$ ✓)、$\cos$ は $0$ に近い($0.28$ ✓) — 値の大きさも妥当だ。

「$\theta$ が第 $1$ 象限だから、$2\theta$ も第 $1$ 象限」とは限らない。

もし $\theta =60^{\circ }$(第 $1$ 象限)なら、$2\theta =120^{\circ }$ で第 $2$ 象限になる。角を $2$ 倍すると、象限が変わりうる — この落とし穴に注意したい。

「$2\theta$ の象限を、値から確かめる」 — 計算した $\sin 2\theta$、$\cos 2\theta$ の符号が、$2\theta$ の位置と整合しているか。この確認が、答えの信頼性を保証する。