合成を利用する最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2項のままでは、最大がどこで起きるか見えない。前問の合成で1つの $\sin$ にまとめる。

$$y=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

$\sin$ の値は $-1$ から $1$。$\theta$ が1周するとき、中身 $\theta +\frac{\pi }{3}$ も1周するから、$\pm 1$ の両方に必ず到達する。

よって最大 $2$・最小 $-2$。「合成 → 振幅を読む」の2手で終わる。

① 合成して、1つの $\sin$ にまとめる。 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ の係数は $1$ と $\sqrt{3}$。$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$ が前に出て、$\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{1}{2}$・$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ から $\frac{\pi }{3}$。

$$y=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

② $\sin$ 部分の動く範囲を見る。 $\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで一周するので、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{3}$ も一周する。角が一周すれば、$\sin$ は $-1$ から $1$ までの値をすべてとる。

$$-1\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)\le 1$$

③ 最後に $2$ 倍する。 $y$ はこの $\sin$ の $2$ 倍。$2>0$ なので不等号の向きは変わらない。各辺を $2$ 倍して

$$-2\le y\le 2$$

よって最大値 $2$、最小値 $-2$。

まとめ:$a\sin \theta +b\cos \theta$ の最大最小は、合成して $r\sin (\theta +\alpha )$ にするだけ。角が一周するなら答えは $\pm r$。範囲がついているときは中身の角の範囲を調べる。

発展 — 一歩先へ。 範囲が $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ などに制限されると、中身 $\theta +\frac{\pi }{3}$ の動く区間が全周に届かず、最小が $-2$ より浅くなる。「合成 → 中身の範囲 → その区間での $\sin$ の値域」という3段が、制限つき問題の完全な型だ。

数学Cのベクトルでは、この最大値が内積 $(1,\sqrt{3})\cdot (\sin \theta ,\cos \theta )$ の最大として、「2つのベクトルが同じ向きのとき」と幾何の言葉で説明し直される。

別解

式と証明で学んだコーシー・シュワルツの不等式で挟む、代数の道もある。

$$(\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta {)}^2\le (1^2+(\sqrt{3}{)}^2)({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=4\times 1=4$$

よって $-2\le y\le 2$。

等号は $(\sin \theta ,\cos \theta )$ が $(1,\sqrt{3})$ と平行のとき。単位円上にそのような点は確かにあり($60^{\circ }$ 方向とその反対)、最大 $2$・最小 $-2$ はどちらも達成される。

合成は「どの $\theta$ で最大か」まで教えてくれる万能ルート。不等式は「上限の値」を一撃で出す速攻ルート。範囲が全周でなく制限されている問題では合成が必須になるので、主従を意識して使い分けたい。