2直線のなす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線の傾きは、$x$ 軸となす角の $\tan$ だ。2直線のなす角は、2つの傾き角の差である。

差の $\tan$ を計算する公式が $\tan (\alpha -\beta )$ の加法定理から出る。

$$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|$$

$m_1=2$、$m_2=-3$ を入れて値が $1$ になれば、$\theta =\frac{\pi }{4}$ と確定する。

① なぜこの式でなす角が出るのかを押さえる。 直線の傾き $m$ は「その直線が $x$ 軸となす角 $\alpha$ の $\tan$」に等しい($m=\tan \alpha$)。2直線がそれぞれ $x$ 軸と ${\alpha }_1$、${\alpha }_2$ の角をなすなら、2直線のなす角はその差 ${\alpha }_1-{\alpha }_2$。ここに $\tan$ の加法(減法)定理 $\tan ({\alpha }_1-{\alpha }_2)=\frac{\tan {\alpha }_1-\tan {\alpha }_2}{1+\tan {\alpha }_1\tan {\alpha }_2}$ を使い、$\tan \alpha =m$ を入れると、上の公式になる(角の向きで負にもなるので絶対値)。

② 傾きを入れる。 $m_1=2$、$m_2=-3$。

$$\tan \theta =\left|\frac{2-(-3)}{1+2\cdot (-3)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1$$

$0<\theta \le \frac{\pi }{2}$ で $\tan \theta =1$ なので

$$\theta =\frac{\pi }{4}$$

まとめ:公式の中身は「傾き＝$x$ 軸となす角の $\tan$」＋「なす角は角の差」＋「$\tan$ の加法定理」。丸暗記でなく、この3つの組み合わせと分かれば式を忘れても作り直せる。

発展 — 一歩先へ。 分母 $1+m_1{m}_2=0$、つまり $m_1{m}_2=-1$ のとき $\tan$ は定義できない。これは、なす角が $\frac{\pi }{2}$ — おなじみの垂直条件 $m_1{m}_2=-1$ の正体が、この公式の「分母ゼロ」だったという種明かしだ。

数学Cではベクトルの内積 $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ でも同じ角が測れるようになる。$\tan$ 経由と $\cos$ 経由、2つの測り方の使い分けはそこでの楽しみである。

別解

公式を忘れても、加法定理からその場で導けばよい。それがこの問題の本当の学びどころだ。

2直線が $x$ 軸となす角を $\alpha$、$\beta$ とすると、$\tan \alpha =2$、$\tan \beta =-3$。なす角は差 $\alpha -\beta$(の絶対値)だ。

$\tan$ の加法定理(引き算版)に、そのまま流し込む。

$$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{2-(-3)}{1+2\times (-3)}=\frac{5}{-5}=-1$$

$\tan$ が $-1$ ということは、差の角は $\frac{3\pi }{4}$(鈍角側)。なす角は $0<\theta \le \frac{\pi }{2}$ で測る約束だから、補角をとって $\theta =\frac{\pi }{4}$。

公式の絶対値の正体は、この「鈍角が出たら鋭角側に読み替える」操作だった。由来ごと理解すれば、絶対値の付け忘れという事故そのものが起きなくなる。