数学II / 三角関数

3項の和の三角方程式

★★★ 応用和積三角方程式

問題

$0 \leq θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin θ + sin 2 θ + sin 3 θ = 0$ を解け。

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$3$ 項のうち、どの $2$ 項を組ませるか。端の $2$ 項( $sin θ$ と $sin 3 θ$ )を和積でまとめると、真ん中の項と共通の因数が生まれる。

解答・解説

方針

両端の $sin θ + sin 3 θ$ を和積でまとめると $sin 2 θ$ が共通に現れる。全体を $sin 2 θ$ でくくって積 = 0 にする。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin θ + sin 2 θ + sin 3 θ = 0$ は項が $3$ つ。どの $2$ 項を組ませるかがカギだ。

両端の $sin θ$ と $sin 3 θ$ を和積でまとめると、 $sin 2 θ$ が現れる。

これは真ん中の項 $sin 2 θ$ と同じ形。だから全体を $sin 2 θ$ でくくれる。対称な両端を先にまとめると中央と同じ因数が出る、という多項の三角方程式の発想だ。

公式和 → 積で共通因数を作り、因数分解して積 = 0 にする

両端 $sin θ + sin 3 θ$ を和積でまとめる。

$sin θ + sin 3 θ = 2 sin 2 θ cos θ$

これに真ん中の $sin 2 θ$ を加えると

$2 sin 2 θ cos θ + sin 2 θ = sin 2 θ (2 cos θ + 1) = 0$

よって $sin 2 θ = 0$ または $cos θ = - \frac{1}{2}$ 。

$sin 2 θ = 0$ から $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$ 。

$cos θ = - \frac{1}{2}$ から $θ = \frac{2}{3} π, \frac{4}{3} π$ 。

まとめて $θ = 0, \frac{π}{2}, \frac{2}{3} π, π, \frac{4}{3} π, \frac{3}{2} π$ 。

sin2θ=0 と cosθ=−1/2 を満たす6つの角

発展 — 一歩先へ。 項を増やした $sin θ + sin 2 θ + \dots + sin n θ$ にも、閉じた形の公式がある。等比数列のように $sin k θ$ を足し上げると $sin θ + sin 2 θ + \dots + sin n θ = \frac{sin \frac{n θ}{2} sin \frac{( n + 1 ) θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}}$ と書ける( $sin \frac{θ}{2} \neq = 0$ のとき)。

この分子が $0$ になる角が解だ。 $n = 3$ なら分子は $sin \frac{3 θ}{2} sin 2 θ$ で、本問の $6$ 個の解が過不足なく出てくる。

この和は複素数の等比和 $e^{i θ} + e^{2 i θ} + \dots$ の虚部から導け、フーリエ級数に現れる「ディリクレ核」の親戚でもある。項が何個でも $1$ つの分数式にまとまるのが強みだ。

答

$θ = 0, \frac{π}{2}, \frac{2}{3} π, π, \frac{4}{3} π, \frac{3}{2} π$

別解

別解 — 全部 $sin θ, cos θ$ に開いて因数分解する(和積を使わないルート)。 和積を思い出せなくても、 $sin 2 θ$ と $sin 3 θ$ を開けば $sin θ$ でくくれる。 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ 、 $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ を代入する。

$sin θ + sin 2 θ + sin 3 θ = sin θ + 2 sin θ cos θ + 3 sin θ - 4 sin^{3} θ = sin θ (4 + 2 cos θ - 4 sin^{2} θ) .$

$4 - 4 sin^{2} θ = 4 cos^{2} θ$ だから、かっこの中は $4 cos^{2} θ + 2 cos θ = 2 cos θ (2 cos θ + 1)$ 。よって

$sin θ + sin 2 θ + sin 3 θ = 2 sin θ cos θ (2 cos θ + 1) = sin 2 θ (2 cos θ + 1) = 0.$

$sin 2 θ = 0$ または $cos θ = - \frac{1}{2}$ 。 $0 \leq θ < 2 π$ で $sin 2 θ = 0$ は $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$ 、 $cos θ = - \frac{1}{2}$ は $θ = \frac{2}{3} π, \frac{4}{3} π$ 。

合わせて $θ = 0, \frac{π}{2}, \frac{2}{3} π, π, \frac{4}{3} π, \frac{3}{2} π$ 。両端を和積でまとめる本解と、同じ因数 $sin 2 θ (2 cos θ + 1)$ にたどり着く。

ポイント

3項のうち両端を和積 → 真ん中と共通因数でくくる。
因数ごとに方程式を解き、すべての解をまとめる。

よくある間違い

両端でなく隣り合う $sin θ + sin 2 θ$ を和積してしまい、真ん中と共通因数が出ず行き詰まる。
$sin 2 θ = 0$ の解を $θ = 0, π$ だけとし、 $2 θ$ が $[0, 4 π)$ を動くこと( $θ = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ も)を見落とす。
$cos θ = - \frac{1}{2}$ の解を第 $2$ 象限の $\frac{2}{3} π$ だけにし、第 $3$ 象限の $\frac{4}{3} π$ を落とす。