数学II / 三角関数

sin³θ+cos³θ の最大・最小

★★★★ 難関最大・最小対称式置き換え

問題

$0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ のとき、 $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ の最大値と最小値を求めよ。

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$sin^{3} + cos^{3}$ は和の公式で $(sin + cos) (\dots)$ に因数分解できる。 $t = sin θ + cos θ$ とおくと $t$ の式に。 $t$ の動く範囲に注意。

解答・解説

方針

$t = sin θ + cos θ$ とおくと $sin θ cos θ = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ 。 $sin^{3} θ + cos^{3} θ = t (1 - \frac{t ^{2} - 1}{2})$ を $t$ の式にする。 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ での $t$ の範囲は $1 \leq t \leq 2$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ を、そのまま $θ$ で最大最小するのは難しい。

$sin, cos$ の対称式(入れ替えても同じ)だから、和 $t = sin θ + cos θ$ と積 $sin θ cos θ$ で書き直せる。

$a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ の因数分解を使い、 $1$ 変数 $t$ の関数にする。あとは $t$ の動く範囲を押さえて調べる。

公式

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

。

t = sin θ + cos θ

のとき

sin θ cos θ = \frac{t ^{2} - 1}{2}

① $t$ の式にする。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ より

$sin^{3} θ + cos^{3} θ = (sin θ + cos θ) (1 - sin θ cos θ) = t (1 - \frac{t ^{2} - 1}{2}) = \frac{t ( 3 - t ^{2} )}{2} = \frac{3 t - t ^{3}}{2}$

② $t$ の範囲。 $t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ 。 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ では $θ + \frac{π}{4}$ が $\frac{π}{4}$ から $\frac{3 π}{4}$ を動き、 $sin$ は $\frac{1}{2}$ から $1$ 。よって $t$ は $1 \leq t \leq 2$ 。

③ 範囲つきで調べる。 $g (t) = \frac{3 t - t ^{3}}{2}$ 、 $g^{'} (t) = \frac{3 - 3 t ^{2}}{2}$ 。 $1 \leq t \leq 2$ では $t \geq 1$ で $g^{'} \leq 0$ 、すなわち $g$ は減少。

最大:左端 $t = 1$ で $g (1) = \frac{3 - 1}{2} = 1$ ( $θ = 0$ または $\frac{π}{2}$ )。
最小:右端 $t = 2$ で $g (2) = \frac{3 2 - 2 2}{2} = \frac{2}{2}$ ( $θ = \frac{π}{4}$ )。

まとめ: $sin^{3} + cos^{3}$ は「和の因数分解 → $t = sin + cos$ で $1$ 変数化」。 $t$ の範囲 $1 \leq t \leq 2$ が必須で、この範囲で $g (t)$ は減少だから、最大は $t = 1$ (端が $0, \frac{π}{2}$ )、最小は $t = 2$ ( $θ = \frac{π}{4}$ )。

発展 — 一歩先へ。 $sin^{n} θ + cos^{n} θ$ は、 $p = sin θ + cos θ$ と $q = sin θ cos θ$ の対称式(ニュートンの恒等式)で書ける。 $n$ が上がっても和と積の $2$ 文字で処理できるのがポイント。 $s_{n} = sin^{n} + cos^{n}$ は漸化式 $s_{n} = p s_{n - 1} - q s_{n - 2}$ を満たす。

答

最大値 $1$ ( $θ = 0, \frac{π}{2}$ )、最小値 $\frac{2}{2}$ ( $θ = \frac{π}{4}$ )

別解

別解 — 積 $u = sin θ cos θ$ の $1$ 変数に落とす(得意な人向けの視点)。 $sin^{3} θ + cos^{3} θ = (sin θ + cos θ) (1 - sin θ cos θ)$ と因数分解する( $sin^{2} + cos^{2} = 1$ を使った)。

ここで $u = sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ とおくと、 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ で $u \in [0, \frac{1}{2}]$ 。また $(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 u$ だから $sin θ + cos θ = 1 + 2 u$ 。

$f (u) = 1 + 2 u (1 - u), 0 \leq u \leq \frac{1}{2} .$

$f (0) = 1$ 、 $f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ で、 $f$ はこの区間で単調に減る。よって最大 $1$ ( $u = 0$ 、つまり $θ = 0, \frac{π}{2}$ )、最小 $\frac{2}{2}$ ( $u = \frac{1}{2}$ 、つまり $θ = \frac{π}{4}$ )。

$t = sin θ + cos θ$ を主役にする本解と、 $u = sin θ cos θ$ を主役にするこの解は、どちらも「対称式は和か積の $1$ 変数にまとめる」同じ精神。 $sin 2 θ$ が $0 \to 1$ と動くと見れば範囲もすぐ出る。

ポイント

$sin^{3} + cos^{3} = t (1 - \frac{t ^{2} - 1}{2}) = \frac{3 t - t ^{3}}{2}$ 。
$1 \leq t \leq 2$ で減少 → 最大 $1$ ( $t = 1$ )、最小 $\frac{2}{2}$ ( $t = 2$ )。

よくある間違い

$t = sin θ + cos θ$ の動く範囲 $1 \leq t \leq 2$ を求めず、 $t$ を自由な実数扱いにする。
$sin θ cos θ = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ の関係を誤り、 $t$ の式が作れない。
端点 $θ = 0, \frac{π}{2}$ での値 $1$ を「最小」と早合点する(実際は最大)。