数学II / 三角関数

グラフの振幅・周期・平行移動

★★ 標準三角関数のグラフ

問題

関数 $y = 2 sin (2 θ - \frac{π}{3})$ の振幅、周期を求めよ。また、 $y = 2 sin 2 θ$ をどのように平行移動したものか答えよ。

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振幅と周期は係数から読める。平行移動を読むときは、中身を『 $2 \times ()$ 』の形にくくり直すのが鉄則 — くくらずに読むと移動量を間違える。

解答・解説

$y = a sin (b θ - c)$ の形で読み取る。振幅は $∣ a ∣$ 、周期は $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ 。中身を $b (θ - \frac{c}{b})$ とくくると平行移動量がわかる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = a sin (b θ - c)$ の形から、3つの情報を順に読む。

振幅は $∣ a ∣ = 2$ 。周期は $\frac{2 π}{∣ b ∣} = π$ 。

平行移動だけは即読みできない。中身を $b$ でくくって $2 sin 2 (θ - \frac{π}{6})$ と直すと、「 $θ$ 軸方向に $\frac{π}{6}$ 」が正しく現れる。 $- \frac{π}{3}$ のままでは移動量を読み違える。

公式

y = a sin (b θ - c)

:振幅

∣ a ∣

、周期

\frac{2 π}{∣ b ∣}

、

θ

軸方向に

\frac{c}{b}

平行移動

$a = 2$ 、 $b = 2$ 、 $c = \frac{π}{3}$ 。

振幅は $∣ a ∣ = 2$ 。周期は

$\frac{2 π}{∣ b ∣} = \frac{2 π}{2} = π$

平行移動は、中身を $b$ でくくる。

$2 θ - \frac{π}{3} = 2 (θ - \frac{π}{6})$

よって $y = 2 sin 2 θ$ を $θ$ 軸方向に $+ \frac{π}{6}$ (右へ $\frac{π}{6}$ )平行移動したもの。

y=2sin2θ(青破線)を右へ π/6 動かした y=2sin(2θ−π/3)(赤)

発展 — 一歩先へ。 「中身の係数でくくってから移動量を読む」のは、2次関数 $y = (2 x - 1)^{2}$ の軸が $x = \frac{1}{2}$ であるのと同じ文法だ。関数の種類によらない、置きかえの一般規則である。

$y = a sin (b θ - c) + d$ と定数 $d$ が付けば上下の移動も加わる。振幅・周期・位相・中心線の4点セットは、音や電気の波を記述する物理の言葉として、そのまま実世界で使われている。

答

振幅 $2$ 、周期 $π$ 。 $y = 2 sin 2 θ$ を $θ$ 軸方向に $\frac{π}{6}$ 平行移動

「波の出発点を追う」と、くくり忘れの事故が起きない。

$sin$ の波は、中身が $0$ になる所から上りで始まる。この「出発点」を探そう。

$2 θ - \frac{π}{3} = 0$ を解くと $θ = \frac{π}{6}$ 。つまりこの波は $θ = \frac{π}{6}$ からスタートする。

比較対象の $y = 2 sin 2 θ$ の出発点は $θ = 0$ 。

出発点が $0$ から $\frac{π}{6}$ へ移っているから、平行移動量は $\frac{π}{6}$ 。これが答えだ。

「係数をくくる」代数の操作と、「出発点のずれを測る」波の観察は同じことをしている。グラフを描く問題では、この出発点(と、そこから周期の $\frac{1}{4}$ ずつ刻んだ山・ゼロ・谷)を打つのが実践的な描画手順にもなる。