数学II / 三角関数

三角関数のグラフ(振幅・周期)

★ 基礎三角関数のグラフ

問題

関数 $y = 2 sin θ$ について、値域(とりうる $y$ の範囲)と周期を答えよ。

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$sin θ$ 自身の値域を思い出し、それが $2$ 倍されたらどうなるかを考える。縦に伸ばす変形が周期に影響するかどうかも、グラフを思い浮かべて判断しよう。

解答・解説

方針

$y = a sin θ$ は、 $sin θ$ ( $- 1$ から $1$ )を縦に $a$ 倍したもの。振幅が $∣ a ∣$ 、周期は $sin θ$ と同じ $2 π$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = 2 sin θ$ — 元の $y = sin θ$ を、縦に $2$ 倍に引き伸ばしたグラフだ。

値域(とりうる $y$ の範囲)。

$sin θ$ は $- 1$ から $1$ まで動く。

$- 1 ≦ sin θ ≦ 1$

全体を $2$ 倍する。

$- 2 ≦ 2 sin θ ≦ 2$

値域は $- 2 ≦ y ≦ 2$ 。 この「 $2$ 」を振幅という(波の高さ)。

周期(何回で元に戻るか)。

縦に伸ばしても、横方向は何も変わらない。 $sin θ$ が $2 π$ ごとに繰り返すなら、 $2 sin θ$ も $2 π$ ごとに繰り返す。

$周期 = 2 π$

縦の変化(振幅)と、横の変化(周期)は独立している — ここを混同しないこと。

公式

y = a sin θ

は振幅

∣ a ∣

、周期

2 π

、値域

- ∣ a ∣ \leq y \leq ∣ a ∣

$sin θ$ は $- 1$ から $1$ まで動く。それを $2$ 倍するので

$- 2 \leq 2 sin θ \leq 2$

よって値域は $- 2 \leq y \leq 2$ (振幅 $2$ )。

周期は、縦に $2$ 倍しても横方向は変わらないので、 $sin θ$ と同じ $2 π$ 。

y=2sinθ:振幅2・周期2π(青は y=sinθ)

発展 — 一歩先へ。 「どんな波でも、 $sin$ と $cos$ の足し算で書ける」— これがフーリエ級数という、 $19$ 世紀最大の発見の $1$ つだ。

$f (θ) = a_{0} + a_{1} cos θ + b_{1} sin θ + a_{2} cos 2 θ + b_{2} sin 2 θ + \dots$

どんなに複雑な波形も、単純な $sin$ 波の重ね合わせに分解できる。

ギザギザの波(のこぎり波)でも、四角い波(矩形波)でも、 $sin$ の無限和で表せる。

$矩形波 = sin θ + \frac{1}{3} sin 3 θ + \frac{1}{5} sin 5 θ + \frac{1}{7} sin 7 θ + \dots$

なめらかな $sin$ 波を足していくと、カクカクした四角い波が現れる — 信じがたいが、本当だ。

この定理が、現代のデジタル技術を丸ごと支えている。

音楽の圧縮(MP3): 音を $sin$ 波に分解し、人間に聞こえない成分を捨てる。だからファイルが小さくなる
画像の圧縮(JPEG): 画像を $2$ 次元の波に分解し、細かい成分を粗く記録する
音声認識: 声を周波数成分に分解して、パターンを認識する
地震波の解析、MRI、電波通信 — すべてフーリエ変換が心臓部にある

「音を $sin$ 波に分解する」という発想がなければ、スマホで音楽を聴くことも、写真を送ることもできない。

そして、その分解の基本単位が、 $y = A sin (k θ + p)$ という $1$ 本の波だ。

振幅・周期・位相 — この $3$ つを読む練習は、世界をフーリエの目で見るための準備運動なのである。

答

値域 $- 2 \leq y \leq 2$ 、周期 $2 π$

別解

三角関数のグラフは、 $4$ つのパラメータで完全に決まる。 それを整理しておけば、どんな形でも読めるようになる。

一般形。

$y = A sin (k (θ - p)) + q$

記号	名前	効果
$A$	振幅	縦に $∣ A ∣$ 倍(波の高さ)
$k$	—	横に $\frac{1}{∣ k ∣}$ 倍(周期は $\frac{2 π}{∣ k ∣}$ )
$p$	位相	横に $p$ 平行移動
$q$	—	縦に $q$ 平行移動(中心線の高さ)

今回の $y = 2 sin θ$ は、 $A = 2$ 、 $k = 1$ 、 $p = q = 0$ 。

振幅 $2$ → 値域は $- 2 ≦ y ≦ 2$ ✓
周期 $\frac{2 π}{1} = 2 π$ ✓

練習してみよう。 $y = 3 sin 2 θ$ なら?

振幅 $3$ → 値域は $- 3 ≦ y ≦ 3$
周期 $\frac{2 π}{2} = π$ → $2$ 倍速く振動する

$y = 2 sin 3 θ$ なら?

振幅 $2$ 、周期 $\frac{2 π}{3}$

「 $θ$ の係数が大きいほど、周期は短い(速く振動する)」 — 直感と逆に感じるかもしれないが、 $θ$ が少し変わるだけで中身が大きく変わるから、当然だ。

周期の意味を、定義から確かめる。

$f (θ + T) = f (θ) を満たす最小の正の数 T が周期$

$y = sin k θ$ なら

$sin k (θ + T) = sin (k θ + k T)$

これが $sin k θ$ と等しくなるのは、 $k T = 2 π$ のとき。

$T = \frac{2 π}{k} ✓$

公式が導けた。 暗記でなく、定義から作れる。

そして、この $4$ つのパラメータは、現実の波を記述する言葉そのものである。

音の場合:

振幅 $A$ → 音の大きさ(ボリューム)
周期 $T$ (逆数の振動数 $f = \frac{1}{T}$ )→ 音の高さ(ピッチ)。 $440$ Hz が「ラ」の音
位相 $p$ → 波の"ずれ"(ノイズキャンセリングは、逆位相の波をぶつけて音を消す)
$q$ → 通常は $0$ (基準線)

光の場合: 振動数が色を決める(赤は低く、紫は高い)。

電波の場合: 振幅を変えて情報を乗せるのが AM ラジオ、振動数を変えるのが FM ラジオ — 名前の由来がここにある(Amplitude Modulation / Frequency Modulation)。

$y = 2 sin θ$ の「振幅 $2$ 」「周期 $2 π$ 」を読む作業。 それは、音や光や電波を"読む"作業と、まったく同じなのだ。

ポイント

$y = a sin θ$ :振幅 $∣ a ∣$ 、周期 $2 π$ 。
縦の拡大(振幅)は周期に影響しない。

よくある間違い

振幅が2倍になると周期も2倍になると思ってしまう(周期は変わらない)
値域を $- 1 \leq y \leq 1$ のままにする(2倍するので $- 2$ から $2$ )
$y = sin 2 θ$ (周期が半分)と $y = 2 sin θ$ (振幅が2倍)を混同する