数学II / 三角関数

三角方程式の解の個数の場合分け

最難関編解の個数置き換え

問題

$a$ を実数の定数とする。 $θ$ の方程式

$cos 2 θ + a sin θ = 0 (0 \leq θ < 2 π)$

の解の個数を、 $a$ の値によって場合分けして求めよ。

ヒントを見る

$t = sin θ$ と置いた2次方程式の「解の個数」と、もとの $θ$ の「解の個数」は同じではない。 $t$ が1つ決まると $θ$ はいくつ対応するか — その翻訳表を先に作ってから、2次の解がどこにあるかを追うと。

解答・解説

方針

cos2θ=1−2sin²θ で t=sinθ の2次方程式 2t²−at−1=0 に直す。急所は「t の解1個に θ が何個対応するか」の翻訳表(|t|<1 で2個、t=±1 で1個、|t|>1 で0個)。2次の側は積が −1/2 なので解は必ず正負1つずつ — 端点 t=±1 の通過だけで場合が切り替わる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ で $t = sin θ$ の2次方程式に直すところまでは一本道だ。

本当の主役はそのあと。 $t$ の解1つに $θ$ が何個対応するかの翻訳表( $∣ t ∣ < 1$ なら2個、 $t = \pm 1$ なら1個、 $∣ t ∣ > 1$ なら0個)を通して数え直すことだ。

2次方程式 $2 t^{2} - a t - 1 = 0$ は積が $- \frac{1}{2}$ 。解は必ず正と負に1つずつあり、しかも絶対値の積が $\frac{1}{2}$ だから、両方同時には区間の外に出られない。境目は、解が $t = \pm 1$ を通過する瞬間だけだ。

重要

t = sin θ

の翻訳表:

∣ t ∣ < 1

→

θ

2個、

t = \pm 1

→ 1個、

∣ t ∣ > 1

→ 0個。

2 t^{2} - a t - 1 = 0

は積

- \frac{1}{2}

で解は正負1つずつ

① 置き換える。 $1 - 2 t^{2} + a t = 0$ 、すなわち

$2 t^{2} - a t - 1 = 0$

判別式は $a^{2} + 8 > 0$ で常に相異なる2実解 $t_{1} < 0 < t_{2}$ (積が $t_{1} t_{2} = - \frac{1}{2} < 0$ )。また $∣ t_{1} ∣∣ t_{2} ∣ = \frac{1}{2}$ 。

② 境目を求める。 $f (t) = 2 t^{2} - a t - 1$ とおく。 $t_{2} = 1$ ⟺ $f (1) = 1 - a = 0$ ⟺ $a = 1$ (このとき $t_{1} = - \frac{1}{2}$ )。 $t_{1} = - 1$ ⟺ $f (- 1) = 1 + a = 0$ ⟺ $a = - 1$ ( $t_{2} = \frac{1}{2}$ )。

③ 場合分けして数える。

$∣ a ∣ < 1$ のとき: $f (1) = 1 - a > 0$ かつ $f (- 1) = 1 + a > 0$ 。正負に1つずつの解が端点の外にはみ出せないから $- 1 < t_{1} < 0 < t_{2} < 1$ — 翻訳表で $2 + 2 = 4$ 個。
$a = 1$ のとき: $t = 1$ ( $θ = \frac{π}{2}$ の1個)と $t = - \frac{1}{2}$ (2個)で3個。 $a = - 1$ も対称に3個。
$a > 1$ のとき: $f (1) < 0$ より $t_{2} > 1$ (対応0個)。このとき $∣ t_{1} ∣ = \frac{1}{2 t _{2}} < \frac{1}{2} < 1$ だから $t_{1}$ は2個 — 計2個。 $a < - 1$ も対称に2個。

a=1/2 の例: t の2解(横線)それぞれに sinθ=t の θ が2個ずつ対応して計4個。横線が t=±1 に達すると対応が1個に減り、外に出ると0個になる

まとめ: 置き換えの方程式を解いて終わりではなく、「 $t$ の個数 → $θ$ の個数」の翻訳までが問題。2次の側は端点の値 $f (\pm 1)$ と積の情報で配置が読める — 解の配置と三角関数のグラフの対応、2つの単元の道具が1本につながる。

答

$∣ a ∣ < 1$ のとき4個、 $∣ a ∣ = 1$ のとき3個、 $∣ a ∣ > 1$ のとき2個

別解

定数分離してグラフで数える(得意な人向け)。 $sin θ = 0$ (このとき $cos 2 θ = 1 \neq = 0$ で解にならない)を除けば、 $t = sin θ (t \neq = 0)$ で $a$ を分離できる:

$a = \frac{2 t ^{2} - 1}{t} = 2 t - \frac{1}{t}$

右辺 $g (t) = 2 t - \frac{1}{t}$ のグラフを $- 1 \leq t < 0, 0 < t \leq 1$ で描くと、どちらの枝も増加で、値域は左の枝が $[- 1, \infty)$ 、右の枝が $(- \infty, 1]$ 。水平線 $y = a$ との交点の $t$ に、翻訳表( $∣ t ∣ < 1$ で2個、 $t = \pm 1$ で1個)を掛けて数える。

$∣ a ∣ < 1$ : 両方の枝と1回ずつ交わり、どちらも $∣ t ∣ < 1$ → $2 + 2 = 4$ 個
$a = 1$ : 右の枝と端 $t = 1$ で交わり(1個)、左の枝と $∣ t ∣ < 1$ で交わる(2個)→ 3個( $a = - 1$ も対称)
$a > 1$ : 右の枝(値域 $\leq 1$ )とは交わらず、左の枝の1点のみ → 2個( $a < - 1$ も対称)

2次方程式の解の配置(本解)と、分離したグラフの交点(本ルート)。同じ場合分けが「端点の符号」と「枝の値域」という2つの言葉で書けることを、見比べて味わいたい。

ポイント

$2 t^{2} - a t - 1 = 0$ 、解は積 $- \frac{1}{2}$ で正負1つずつ。
翻訳表: $∣ t ∣ < 1$ →2個、 $t = \pm 1$ →1個、 $∣ t ∣ > 1$ →0個。
$∣ a ∣ < 1$ : 4個 / $∣ a ∣ = 1$ : 3個 / $∣ a ∣ > 1$ : 2個。

よくある間違い

$t$ の2次方程式の解の個数を、そのまま $θ$ の個数と答える。翻訳表( $∣ t ∣ < 1$ で2個…)の欠落が最大の失点源。
$t = \pm 1$ に対応する $θ$ ( $\frac{π}{2}$ または $\frac{3 π}{2}$ )を2個と数える。1個ずつしかない。
(定数分離で) $sin θ = 0$ の場合を除外したまま戻さない。本問では解にならないが、確認の一言が要る。