合成の最大・最小(範囲つき)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 範囲つきの最大最小は、合成後の角の範囲がカギ — $\theta +\frac{\pi }{4}$ が動く区間を先に求め、その区間で $\sin$ がどこまで動くかを単位円で読む。「合成 → 中身の角の範囲 → その範囲での $\sin$ の増減」という手順を丁寧に踏む。

合成する。$\sin \theta +\cos \theta$ は、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ を前に出して

$$y=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ のとき、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ は

$$\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}\le \frac{3}{4}\pi$$

この範囲で $\sin$ がとる値を調べる。$\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3}{4}\pi$ の間では、$\sin$ は真ん中の $\frac{\pi }{2}$ で最大 $1$、両端の $\frac{\pi }{4}$・$\frac{3}{4}\pi$ で最小 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をとる。つまり

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$$

各辺を $\sqrt{2}$ 倍する($\sqrt{2}>0$ なので不等号の向きは変わらない)。

$$1\le y\le \sqrt{2}$$

よって最大値 $\sqrt{2}$、最小値 $1$。

別解

別解(合成のあと、単位円で高さを読む)

この問題は「合成して1つの $\sin$ にまとめ、その角を単位円で動かして高さ($\sin$)を読む」でも解ける。合成の後の値域の詰めが苦手でも、図で追えるやり方だ。

① まず合成する。 本解と同じく、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を1つにまとめる。係数はどちらも $1$ なので $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ が前に出て

$$y=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$

ばらばらだった $\sin$ と $\cos$ が、1つの $\sin$ になった。ここから先は、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ だけに注目すればよい。

② その角がどこからどこまで動くかを調べる。 $\theta$ が $0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで動くので、中身の角も連れて動く。両端を実際に計算してみる。

• $\theta =0$ のとき、角は $0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$
• $\theta =\frac{\pi }{2}$ のとき、角は $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi$

だから、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ は $\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3}{4}\pi$ まで動く。

③ 単位円で高さ($\sin$)を読む。 単位円では、$\sin$ はその点の「高さ」($y$ 座標)。角が $\frac{\pi }{4}$ から $\frac{3}{4}\pi$ へ動くと、点は円の上側の弧(図の赤い部分)をたどる。

• いちばん高くなるのは、ちょうど真上の $\frac{\pi }{2}$ を通るとき。ここは単位円のてっぺんなので、高さは最大の $1$。
• いちばん低くなるのは、弧の両端 $\frac{\pi }{4}$ と $\frac{3}{4}\pi$ のとき。この2つは $y$ 軸をはさんでちょうど左右対称の位置にあるので、高さは同じ。どちらも $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ だ。

つまり、この範囲での高さ $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$$

④ 最後に $\sqrt{2}$ 倍する。 求める $y$ は、この高さの $\sqrt{2}$ 倍。$\sqrt{2}$ は正の数だから、各辺に掛けても不等号の向きは変わらない。

$$\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\le y\le \sqrt{2}\times 1\Rightarrow 1\le y\le \sqrt{2}$$

よって最大値 $\sqrt{2}$、最小値 $1$。本解(グラフで見る)と同じ答えになった。

まとめ:合成で角を $\theta +\frac{\pi }{4}$ に1つへまとめたら、「その角が単位円のどこからどこまで動くか」を押さえる。あとは高さ($\sin$)の最大・最小を図で読み、係数 $\sqrt{2}$ は最後に掛ければよい。数式の値域計算が不安なときほど、この図で確かめる見方が効く。