扇形の弧長と面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ラジアンを使うと、扇形の公式は驚くほど簡単になる。

$$\boxed{\ell =r\theta ,S=\frac{1}{2}{r}^2\theta }$$

$360$ も $\pi$ も出てこない。掛け算だけ。

弧の長さ。

$$\ell =6\times \frac{2}{3}\pi =4\pi$$

面積。

$$S=\frac{1}{2}\times 6^2\times \frac{2}{3}\pi =\frac{1}{2}\times 36\times \frac{2}{3}\pi =12\pi$$

$\theta$ には、必ずラジアンを入れる。 度($120^{\circ }$)を代入すると、まったく違う値になってしまう — 公式が使えるのはラジアンのときだけだ。

この簡潔さが、ラジアンを使う理由の $1$ つである。

弧長は

$$\ell =r\theta =6\times \frac{2}{3}\pi =4\pi$$

面積は

$$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}\times 36\times \frac{2}{3}\pi =12\pi$$

発展 — 一歩先へ。 扇形の公式 $\ell =r\theta$ は、回転運動の物理でそのまま使われる。

角速度 $\omega$(オメガ、$1$ 秒あたり何ラジアン回るか)で回る物体を考えよう。時間 $t$ 秒で回る角度は $\theta =\omega t$。そのとき、物体が円周上を進む距離は

$$\ell =r\theta =r\omega t$$

速さ(距離 $÷$ 時間)は

$$v=\frac{\ell }{t}=r\omega$$

$$\boxed{v=r\omega }$$

「速さ $=$ 半径 $\times$ 角速度」 — 回転運動の最も基本的な式だ。ラジアンだからこそ、この式がこんなに簡単になる(度で測ったら、$\frac{\pi }{180}$ が紛れ込む)。

この式の意味を、身近な例で。

メリーゴーラウンド。 内側の馬も外側の馬も、同じ角速度 $\omega$ で回る($1$ 周する時間が同じ)。しかし外側($r$ が大きい)のほうが、速さ $v=r\omega$ が大きい — だから外側のほうがスリルがある。

レコード盤・ハードディスク。 中心に近いデータと外周のデータでは、読み取りヘッドに対する相対速度が違う。CD が「一定の速さでデータを読む」ために、回転数を場所によって変えているのは、この式のせいだ。

地球。 赤道上の人($r$ 最大)は時速 $1670$ km で東へ動いている。北極点の人($r\approx 0$)はその場で回っているだけ。同じ角速度でも、緯度で速さが違う。(ロケットを赤道近くから東向きに打ち上げるのは、この初速をタダで貰うためだ。)

$\ell =r\theta$ という、扇形の弧の長さの式。 それが、回る世界のすべてを記述している。

別解

公式を忘れても、「円全体の何分のいくつか」で考えれば必ず解ける。 小学校の考え方に戻るルートだ。そして、面積のもう $1$ つの公式も紹介する。

割合ルート: 円全体の何分の $1$ か。

中心角 $\frac{2}{3}\pi$ は、$1$ 周($2\pi$)の何倍か。

$$\frac{\frac{2}{3}\pi }{2\pi }=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$$

円全体の $\frac{1}{3}$ である。($120^{\circ }$ は $360^{\circ }$ の $\frac{1}{3}$ — 度で考えても同じ。)

あとは、円全体の弧(円周)と面積を $\frac{1}{3}$ 倍するだけ。

弧の長さ: 円周は $2\pi r=2\pi \times 6=12\pi$。その $\frac{1}{3}$ は

$$12\pi \times \frac{1}{3}=4\pi ✓$$

面積: 円の面積は $\pi r^2=36\pi$。その $\frac{1}{3}$ は

$$36\pi \times \frac{1}{3}=12\pi ✓$$

公式ルートと同じ答え。 小学校で習った「扇形は円の一部」という感覚だけで解けた。

公式が不安なときは、この割合ルートに戻ればよい。 遠回りだが、絶対に間違えない。

さて、扇形の面積には、もう $1$ つ美しい公式がある。

$$S=\frac{1}{2}\ell r$$

「弧の長さ $\times$ 半径 $÷$ $2$」。 今回の値で確かめると

$$S=\frac{1}{2}\times 4\pi \times 6=12\pi ✓$$

この式、何かに似ていないだろうか。

$$(\text{三角形の面積})=\frac{1}{2}\times (\text{底辺})\times (\text{高さ})$$

そっくりだ。

偶然ではない。 扇形を、中心から放射状に細かく切り分けてみよう。細い扇形は、ほとんど三角形に見える(底辺 $=$ 弧の切れ端、高さ $=$ 半径)。

その面積を全部足すと

$$\sum \frac{1}{2}\times (\text{弧の切れ端})\times r=\frac{1}{2}r\sum (\text{弧の切れ端})=\frac{1}{2}r\ell$$

扇形は「無限に細い三角形の集まり」だった。

この発想 — 曲がったものを、まっすぐなものの集まりで近似する — が、積分の原点である。 アルキメデスは $2200$ 年前、この考え方で円の面積 $\pi r^2$ を導いた(円は「中心角 $2\pi$ の扇形」だから、$S=\frac{1}{2}\times 2\pi r\times r=\pi r^2$ ✓)。

$3$ つの公式($r\theta$、$\frac{1}{2}{r}^2\theta$、$\frac{1}{2}\ell r$)は、すべてつながっている。 $\ell =r\theta$ を $\frac{1}{2}\ell r$ に代入すれば $\frac{1}{2}{r}^2\theta$ — $1$ つ覚えれば、残りは作れる。