三角関数の性質

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角関数の性質(公式)は $6$ つも $9$ つもあって、覚えきれない。単位円の対称性で読むのが正解だ。

基本の点 $\mathrm{P}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ を、単位円に打つ($\alpha =\frac{\pi }{5}$ とする)。

(1) $\pi -\alpha$ — これは $y$ 軸に関する対称点($x$ が反転)。

$$\text{点}(-\cos \alpha ,\sin \alpha )⟹\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$$

(2) $\pi +\alpha$ — これは 原点対称($x$ も $y$ も反転)。

$$\text{点}(-\cos \alpha ,-\sin \alpha )⟹\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$$

(3) $-\alpha$ — これは $x$ 軸対称($y$ が反転)。

$$\text{点}(\cos \alpha ,-\sin \alpha )⟹\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$$

公式を覚えるのではなく、点がどこへ移るかを見る。

単位円での対称移動から、それぞれ次のようになる。

(1) $\pi -\theta$ は $y$ 軸に関する対称なので $\sin$ は変わらない。

$$\sin \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)=\sin \frac{\pi }{5}$$

(2) $\pi +\theta$ は原点に関する対称なので $\cos$ は符号が変わる。

$$\cos \left(\pi +\frac{\pi }{5}\right)=-\cos \frac{\pi }{5}$$

(3) $-\theta$ は $x$ 軸に関する対称なので $\sin$ は符号が変わる。

$$\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-\sin \frac{\pi }{5}$$

発展 — 一歩先へ。 $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$、$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$ という性質には、名前がついている。

• 奇関数: $f(-x)=-f(x)$ → 原点対称なグラフ($\sin$、$\tan$、$x^3$、$x$)
• 偶関数: $f(-x)=f(x)$ → $y$ 軸対称なグラフ($\cos$、$x^2$、$|x|$)

「奇」「偶」の名は、$x^n$ の $n$ の偶奇に由来する。 $x^3$(奇数乗)は奇関数、$x^2$(偶数乗)は偶関数だ。

この分類が、積分で絶大な威力を発揮する。

$${\int }_{-a}^a(\text{奇関数})dx=0$$

奇関数を、原点対称な区間で積分すると、必ず $0$。 左半分と右半分が、符号違いで打ち消し合うからだ。

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin xdx=0(\text{計算せずに分かる})$$

$${\int }_{-a}^a(\text{偶関数})dx=2{\int }_0^a(\text{偶関数})dx$$

偶関数なら、半分だけ計算して $2$ 倍すればよい。

「対称性を見抜いて、計算を省く」 — 数IIIの積分では、この判断が時間を大きく左右する。

そして、この対称性は物理でも重要だ。

量子力学では、波動関数の「パリティ(偶奇性)」が保存される。粒子が奇関数的か偶関数的かで、起こりうる反応が決まる — 対称性が、自然法則を制限している。

「$\sin$ は奇関数、$\cos$ は偶関数」 という何気ない事実。それは、単位円を $x$ 軸で折り返したときに、$y$ 座標だけが反転する、という単純な観察から来ている。

単純な観察が、深い法則につながる。 数学の面白さは、いつもそこにある。

別解

もし公式を「覚える」なら、$2$ つの機械的なルールにまとめられる。 単位円が使えないとき(暗算したいとき)の保険として、知っておくとよい。

ルール1: 「$\pi \pm \alpha$」「$-\alpha$」では、関数名は変わらない。

$$\sin \to \sin ,\cos \to \cos ,\tan \to \tan$$

符号だけが変わる可能性がある。

ルール2: 符号は、「$\alpha$ を鋭角だと思って、移った先の象限を見る」。

具体的にやってみよう。

(1) $\sin (\pi -\alpha )$

$\alpha$ を鋭角(たとえば $36^{\circ }$)とすると、$\pi -\alpha =144^{\circ }$ は第 $2$ 象限。

第 $2$ 象限で $\sin$ は正。 だから符号は $+$。

$$\sin (\pi -\alpha )=+\sin \alpha ✓$$

(2) $\cos (\pi +\alpha )$

$\pi +\alpha =216^{\circ }$ は第 $3$ 象限。

第 $3$ 象限で $\cos$ は負。 だから符号は $-$。

$$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ✓$$

(3) $\sin (-\alpha )$

$-\alpha =-36^{\circ }$ は第 $4$ 象限。

第 $4$ 象限で $\sin$ は負。 だから符号は $-$。

$$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ✓$$

「関数名そのまま、符号は移った先の象限で決める」 — この $2$ ステップで、すべての公式が再現できる。

ただし、例外がある。「$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$」のときは、関数名が変わる。

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha ,\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$$

$\sin$ と $\cos$ が入れかわる。

なぜか。$\frac{\pi }{2}$($90^{\circ }$)は「軸を $90^{\circ }$ 回す」ことに対応し、$x$ 軸と $y$ 軸が入れかわるからだ。 $x$ 座標($\cos$)と $y$ 座標($\sin$)が交代する。

まとめ。

$90^{\circ }$ の"奇数倍"なら入れかわり、"偶数倍"ならそのまま — と覚えてもよい($\pi =90^{\circ }\times 2$ は偶数倍だからそのまま)。

それでも、いちばん確実なのは単位円だ。 試験中に迷ったら、円を描いて点を打つ。$10$ 秒で済むし、絶対に間違えない。

公式は「速く解くための道具」であって、「思い出せないと解けないもの」ではない。 単位円という原理を持っていれば、公式は忘れてもよいのだ。