数学II / 三角関数

2倍角・半角

★★ 標準2倍角半角

問題

$cos θ = \frac{1}{3}$ のとき、 $cos 2 θ$ と $sin^{2} \frac{θ}{2}$ の値を求めよ。

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$cos 2 θ$ を $cos θ$ だけで表す形と、 $sin^{2} \frac{θ}{2}$ を $cos θ$ で表す形 — どちらも $2$ 倍角の式の仲間から作れる。半角の式は $2$ 倍角を逆に読んだもの、と思えば導ける。

解答・解説

$cos 2 θ$ は $cos θ$ だけで書ける2倍角の公式を使う。 $sin^{2} \frac{θ}{2}$ は半角の公式(こちらも $cos θ$ だけ)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 材料は $cos θ = \frac{1}{3}$ の1つだけ。だから、 $cos θ$ だけで書ける公式を選ぶのが方針になる。

$cos 2 θ$ には3つの顔があるが、 $2 cos^{2} θ - 1$ を選べば代入一発。

$sin^{2} \frac{θ}{2}$ は半角の公式 $\frac{1 - cos θ}{2}$ 。これも $cos θ$ だけで書けている。「手持ちの材料で書ける公式を選ぶ」という道具選びの問題だ。

公式2倍角

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

、半角

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}

$cos 2 θ$ : $cos θ$ だけの2倍角を使う。

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \times \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}$

$sin^{2} \frac{θ}{2}$ :半角の公式。

$sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$

発展 — 一歩先へ。 $sin^{2} = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ という「2乗を1次に下げる」変形は、次数下げと呼ばれ、数学IIIの積分( $\int sin^{2} x d x$ )で必須の技になる。半角の公式は、未来の積分の道具でもある。

加法定理を親とすれば、2倍角は子、半角と次数下げは孫。三角関数の公式群は1本の家系図に整理できる。系図の根元(加法定理)さえ確かなら、枝葉は全部その場で生やせる。

答

$cos 2 θ = - \frac{7}{9}$ 、 $sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}$

半角の公式を「暗記」でなく、2倍角の逆再生としてその場で作る道を見ておこう。

2倍角の公式 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ は、「角を半分にすると $sin^{2}$ で書ける」と逆向きにも読める。移項すれば

$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$

ここで $x = \frac{θ}{2}$ と置けば、 $2 x = θ$ だから

$sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{3}$

半角の公式の正体は、2倍角の公式の移項にすぎなかった。 $cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2}$ も同様に $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ から出る。

覚える公式は2倍角だけでよく、半角は30秒で再生産できる。公式の在庫を「親子関係」で整理すると、記憶の負担が劇的に減る。