対数と正弦の定積分(対称性の合わせ技)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\log (\sin x)$ の原始関数は初等的に書けない。だから「値だけを対称性で決める」方針をとる。

置換 $x\to \frac{\pi }{2}-x$ で ${\int }_0^{\pi /2}\log (\cos x)dx$ も同じ値 $I$ だと分かる。

足すと $\log (\sin x\cos x)=\log \frac{\sin 2x}{2}$。ここで $\sin 2x$ の積分は、置換すれば区間がのびて再び $I$ に戻る。$I$ が自分自身を含む方程式に落ちる — 未知数1つの1次方程式を解く感覚だ。

① 2つ足す。 $I={\int }_0^{\pi /2}\log \sin xdx$、上の対称性で ${\int }_0^{\pi /2}\log \cos xdx=I$。足すと $$2I={\int }_0^{\pi /2}\log (\sin x\cos x)dx={\int }_0^{\pi /2}\log \frac{\sin 2x}{2}dx={\int }_0^{\pi /2}\log \sin 2xdx-\frac{\pi }{2}\log 2.$$ ② $\int \log \sin 2x$ を $I$ に戻す。 $t=2x$ と置換すると ${\int }_0^{\pi /2}\log \sin 2xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\log \sin tdt$。$\sin t$ は $t=\frac{\pi }{2}$ に関して対称だから ${\int }_0^{\pi }\log \sin tdt=2{\int }_0^{\pi /2}\log \sin tdt=2I$。よって ${\int }_0^{\pi /2}\log \sin 2xdx=\frac{1}{2}\cdot 2I=I$。

③ 方程式を解く。 ①に代入して $2I=I-\frac{\pi }{2}\log 2$。したがって $$I=-\frac{\pi }{2}\log 2.$$

まとめ 対称性で $\int \log \cos =I$、2倍角で $\int \log (\sin \cos )$ を作り、$\int \log \sin 2x$ を置換で $I$ に戻すと $I$ の方程式ができて $-\frac{\pi }{2}\log 2$。三角・積分・2倍角・対称性の合わせ技。

発展 — 一歩先へ。 この値から ${\int }_0^{\pi /2}\log (\tan x)dx=I-I=0$ が即座に出る($\log \tan =\log \sin -\log \cos$)。グラフの対称性($x\to \frac{\pi }{2}-x$ で符号反転)からも納得できる。$\log$ と三角関数の積分は、フーリエ級数やゼータ関数の特殊値へ続く入り口である。

別解

別解 — 正弦の積の公式と区分求積でつなぐ(得意な人向けの高い視点)。 有名な積の公式

$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$

($x^n-1$ の因数分解から出る)を認めると、積分が区分求積で計算できる。

区間 $[0,\pi ]$ を $n$ 等分したリーマン和は

$$\frac{\pi }{n}\sum _{k=1}^{n-1}\log \sin \frac{k\pi }{n}=\frac{\pi }{n}\log \prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{\pi }{n}\log \frac{n}{2^{n-1}}=\frac{\pi \log n}{n}-\frac{\pi (n-1)}{n}\log 2.$$

$n\to \infty$ で第1項は $0$、第2項は $-\pi \log 2$。よって ${\int }_0^{\pi }\log \sin xdx=-\pi \log 2$ で、対称性から半分にして $I=-\frac{\pi }{2}\log 2$。

「和の中の積」を先に閉じてから極限をとる — 離散(積の公式)と連続(積分)が握手する別ルートである。