数学II / 三角関数

2直線のなす角

★★★★ 難関正接の加法定理2直線のなす角

問題

$2$ 直線 $y = 3 x$ と $y = \frac{1}{2} x$ のなす鋭角を $θ$ とするとき、 $θ$ を求めよ。

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$2$ 直線のなす角は、傾きから正接の公式で求まる( $tan$ の加法定理から導かれる)。 $tan θ$ を計算し、鋭角の $θ$ を求める。

解答・解説

方針

$2$ 直線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とすると、なす角の正接は $tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$ 。傾き $3$ と $\frac{1}{2}$ を代入する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 直線のなす角。傾きが分かっているなら、なす角の $tan$ が傾きだけで書ける公式がある。

$tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$ 。絶対値がついているのは、鋭角のほうを測るため。

傾き $3$ と $\frac{1}{2}$ を代入すれば $tan θ$ が出る。その値から $θ$ を読む。

公式

2

直線(傾き

m_{1}, m_{2}

)のなす鋭角

θ

は

tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}

① 公式に代入する。 $m_{1} = 3$ 、 $m_{2} = \frac{1}{2}$ より

$tan θ = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1$

2直線 y=3x と y=x/2 のなす鋭角は 45°(tanθ=1)

② 角を求める。 $tan θ = 1$ で $θ$ は鋭角だから

$θ = 45°$

まとめ: $2$ 直線のなす角は「傾きを $tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$ に代入」。分子は傾きの差、分母は $1 +$ (傾きの積)。絶対値をつけて鋭角のなす角にする。今回は分子と分母がともに $\frac{5}{2}$ で $tan θ = 1$ 、 $45°$ 。

発展 — 一歩先へ。 なす角の $tan$ の公式は、複素数でも見える。傾き $m$ の方向を複素数 $1 + mi$ で表すと、 $2$ 直線のなす角は $\frac{1 + m _{2} i}{1 + m _{1} i}$ の偏角。偏角の差=商の偏角、という複素数の性質が、そのまま $tan$ の加法定理・なす角公式になっている。

答

$θ = 45°$

別解

別解 — 方向ベクトルの内積で測る(得意な人向けの視点)。 直線 $y = 3 x$ の方向ベクトルは $(1, 3)$ 、 $y = \frac{1}{2} x$ の方向ベクトルは $(2, 1)$ 。 $2$ 直線のなす角は、この $2$ ベクトルのなす角(またはその補角)。

内積で $cos θ$ を出す。

$cos θ = \frac{( 1 ) ( 2 ) + ( 3 ) ( 1 )}{1 ^{2} + 3 ^{2} 2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{5}{10 \cdot 5} = \frac{5}{50} = \frac{1}{2} .$

$cos θ = \frac{1}{2} > 0$ なので、なす鋭角は $θ = 45°$ 。

$tan$ の公式を使う本解と同じ。傾き $m$ の直線の方向ベクトルは $(1, m)$ と読めるので、なす角は内積でも測れる。分子が正なら鋭角、そのまま答えになる。

ポイント

$tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$ 。
$m_{1} = 3, m_{2} = \frac{1}{2}$ で $tan θ = 1$ → $θ = 45°$ 。

よくある間違い

分子の絶対値を外し、鈍角のほうの $tan$ (負の値)で答えてしまう。
公式の分母 $1 + m_{1} m_{2}$ を $1 - m_{1} m_{2}$ と取り違える。
$tan θ = 1$ から $θ = 45°$ を出さず、 $tan$ の値のまま答えを止める。