3倍角の公式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 求めたいのは $\sin 3\theta$。角が $3\theta$ のままでは扱いにくい。

$3$ 倍角の公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を使えば、右辺は $\sin \theta$ だけで書ける。

与えられた $\sin \theta =\frac{1}{3}$ を代入するだけだ。$3\theta$ を $\theta$ の量に還元する道具として $3$ 倍角を使う。

$\sin \theta =\frac{1}{3}$ を代入する。

$$\sin 3\theta =3\cdot \frac{1}{3}-4\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=1-4\cdot \frac{1}{27}=1-\frac{4}{27}=\frac{23}{27}$$

発展 — 一歩先へ。 $3$ 倍角の公式は、複素数のド・モアブルから一気に出せる。$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ を展開し、実部と虚部を見比べると、実部から $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$、虚部から $\sin 3\theta =3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta$ が同時に得られる。

後者に ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を入れれば、$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ となり $\sin \theta$ だけの式に化ける。$\sin 3\theta$ が $\sin \theta$ だけで、$\cos 3\theta$ が $\cos \theta$ だけで書けるのは偶奇($\sin$ は奇関数、$\cos$ は偶関数)のなせるわざだ。

同じ要領で $\sin 5\theta ,\cos 5\theta$ など、何倍角の公式でも作れる。角を $2$ 倍・$3$ 倍と上げるたびに次数が上がっていくのが、多項式で表す倍角公式の背骨だ。

別解

別解 — $3\theta =2\theta +\theta$ と分けて符号を追う(苦手な人向けの組み立てルート)。 $3$ 倍角の公式を覚えていなくても、$3\theta =2\theta +\theta$ と見れば加法定理から組み立てられる。

$$\sin 3\theta =\sin (2\theta +\theta )=\sin 2\theta \cos \theta +\cos 2\theta \sin \theta .$$

ここに $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$、$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を入れる。

$$\sin 3\theta =(2\sin \theta \cos \theta )\cos \theta +(1-2{\sin }^2\theta )\sin \theta =2\sin \theta {\cos }^2\theta +(1-2{\sin }^2\theta )\sin \theta .$$

大事なのは、$\cos \theta$ が ${\cos }^2\theta$ の形でしか現れないこと。だから $\cos \theta$ の符号(象限)が分からなくても $\sin 3\theta$ は決まる。$\sin \theta =\frac{1}{3}$ から ${\cos }^2\theta =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$ なので

$$\sin 3\theta =2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{8}{9}+\left(1-\frac{2}{9}\right)\cdot \frac{1}{3}=\frac{16}{27}+\frac{7}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{16}{27}+\frac{7}{27}=\frac{23}{27}.$$

公式暗記に頼る本解と同じ $\frac{23}{27}$。しかも「なぜ $\sin \theta$ だけで $\sin 3\theta$ が決まるのか」まで見えるのがこのルートの利点だ。