2倍角を用いる三角方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混ざっている。このままでは解けない。

角を $2\theta$ と $\theta$ の $2$ 種類にしているのが原因。$2$ 倍角で $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ に書き直せば、文字が $\sin \theta$ だけにそろう。

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を使う。すると $\sin \theta$ の $2$ 次方程式になる。因数分解して解こう。

① $1$ 種類にそろえる。 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を代入。

$$(1-2{\sin }^2\theta )+3\sin \theta -2=0⟹-2{\sin }^2\theta +3\sin \theta -1=0$$

② $2$ 次方程式を解く。 $s=\sin \theta$ とおき、両辺 $\times (-1)$ して

$$2s^2-3s+1=0⟹(2s-1)(s-1)=0⟹s=\frac{1}{2},1$$

③ $\theta$ を拾う。 $0\le \theta <2\pi$ で

• $\sin \theta =\frac{1}{2}$:$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$
• $\sin \theta =1$:$\theta =\frac{\pi }{2}$

よって $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}$。

まとめ:$\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混ざったら「$2$ 倍角で $\sin$ にそろえて $2$ 次方程式」。$\sin \theta =1$ は $\theta =\frac{\pi }{2}$ の $1$ つだけ($-1\le \sin \le 1$ の上端)。範囲内の $\theta$ を単位円で漏れなく拾う。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 倍角で角をそろえて$2$次方程式に」は三角方程式の王道。$\cos 2\theta$ に $3$ つの形($1-2{\sin }^2$、$2{\cos }^2-1$、${\cos }^2-{\sin }^2$)があるのは、残したい文字に合わせて選ぶため。方程式に $\sin$ が多ければ $1-2{\sin }^2$ を選ぶ、という「道具の選択」が上達の鍵だ。

別解

別解 — 単位円で根を読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 $2$ 次方程式を解くと $\sin \theta =\frac{1}{2}$ または $\sin \theta =1$。この $2$ 本の“高さ”を単位円で見る。

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ は、高さ $\frac{1}{2}$ の水平線が単位円と交わる $2$ 点。第 $1$ 象限の $\theta =\frac{\pi }{6}$ と、第 $2$ 象限の $\theta =\frac{5\pi }{6}$。

$\sin \theta =1$ は円の一番上、$\theta =\frac{\pi }{2}$ のただ $1$ 点。

合わせて $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}$。式だけで解くと「$\sin \theta =1$ が $1$ 個、$\sin \theta =\frac{1}{2}$ が $2$ 個」の解の個数を取り違えやすい。単位円で水平線を引くと、交点の数がそのまま解の数として目に見える。