4つの正接の和の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 見た目はばらばらな4つの正接だが、$9^{\circ }+81^{\circ }=90^{\circ }$、$27^{\circ }+63^{\circ }=90^{\circ }$。余角の組が2つ隠れている。

$\tan 81^{\circ }=\frac{1}{\tan 9^{\circ }}$ だから、組ごとに束ねると $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }$ の形。これは通分すると $\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{2}{\sin 2\theta }$ と一気に潰れる。

残るのは $\frac{2}{\sin 18^{\circ }}-\frac{2}{\sin 54^{\circ }}$。差は通分して和積で崩す、といういつもの流れに乗る。

① 余角で束ねる。

$$\tan 9^{\circ }+\tan 81^{\circ }=\tan 9^{\circ }+\frac{1}{\tan 9^{\circ }}=\frac{{\sin }^2{9}^{\circ }+{\cos }^2{9}^{\circ }}{\sin 9^{\circ }\cos 9^{\circ }}=\frac{2}{\sin 18^{\circ }}$$

同様に $\tan 27^{\circ }+\tan 63^{\circ }=\frac{2}{\sin 54^{\circ }}$。よって

$$\text{与式}=\frac{2}{\sin 18^{\circ }}-\frac{2}{\sin 54^{\circ }}$$

② 差を和積で崩す。 通分して

$$\frac{2(\sin 54^{\circ }-\sin 18^{\circ })}{\sin 18^{\circ }\sin 54^{\circ }}$$

和積の公式より $\sin 54^{\circ }-\sin 18^{\circ }=2\cos 36^{\circ }\sin 18^{\circ }$ だから

$$=\frac{4\cos 36^{\circ }\sin 18^{\circ }}{\sin 18^{\circ }\sin 54^{\circ }}=\frac{4\cos 36^{\circ }}{\sin 54^{\circ }}$$

③ 余角でとどめ。 $\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }$ だから、値は $4$。

まとめ: 「足して90°の組を見つけて束ねる → $\frac{2}{\sin 2\theta }$ に潰す → 差は和積」。具体的な角の値($\sin 18^{\circ }$ など)を一度も求めずに、構造だけで整数に落ちるのがこの問題の醍醐味だ。

発展 — 一歩先へ。 同じ設計で $\tan 6^{\circ }-\tan 42^{\circ }-\tan 66^{\circ }+\tan 78^{\circ }$ のような類題も落ちる($6^{\circ }+78^{\circ }=42^{\circ }+66^{\circ }=84^{\circ }$ ではなく余角の組を探し直す)。「角をばらばらに見ず、和が特別な値になる組を探す」— この目が4項タイプの共通の入り口だ。

別解

差で組む(もう1つの束ね方)。 符号に合わせて $(\tan 81^{\circ }-\tan 63^{\circ })+(\tan 9^{\circ }-\tan 27^{\circ })$ と組み替えてもよい。差の公式

$$\tan A-\tan B=\frac{\sin (A-B)}{\cos A\cos B}$$

を使うと、どちらの組も分子が $\sin 18^{\circ }$ にそろう:

$$\frac{\sin 18^{\circ }}{\cos 81^{\circ }\cos 63^{\circ }}+\frac{\sin 18^{\circ }}{\cos 9^{\circ }\cos 27^{\circ }}\cdot (-1)\cdot (-1)$$

余角 $\cos 81^{\circ }=\sin 9^{\circ },\cos 63^{\circ }=\sin 27^{\circ }$ で書き直し、通分すると分子に加法定理の形 $\cos 9^{\circ }\cos 27^{\circ }-\sin 9^{\circ }\sin 27^{\circ }=\cos 36^{\circ }$ が現れる。分母は倍角で $\sin 18^{\circ }\sin 54^{\circ }$ の $\frac{1}{4}$ 倍となり、約分の末に $\frac{4\cos 36^{\circ }}{\sin 54^{\circ }}=4$。

和で組む(本解)か差で組むか。どちらでも $\sin 18^{\circ }$ という共通の芯が現れて4に落ちる。組み方の選択肢を2つ持っておくと、符号の並びが違う類題にも即応できる。