cos3θ=cos2θ を解く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\cos 3\theta =\cos 2\theta$。両辺とも $\cos$ の形だ。

$3$ 倍角・$2$ 倍角の公式で展開して $\cos \theta$ の方程式にする手もあるが、$3$ 次式になって面倒。

「$\cos A=\cos B$ なら $A=\pm B+2k\pi$」という関係を使うと、角の等式に直せて速い。$3\theta =\pm 2\theta +2k\pi$ の $2$ 通りを解く。

① 角の関係にする。 $\cos 3\theta =\cos 2\theta$ より $3\theta =2k\pi \pm 2\theta$。

② $2$ 通りを解く。

• $3\theta =2\theta +2k\pi$:$\theta =2k\pi$。$0\le \theta <2\pi$ では $\theta =0$。
• $3\theta =-2\theta +2k\pi$:$5\theta =2k\pi$、$\theta =\frac{2k\pi }{5}$。$0\le \theta <2\pi$ では $k=0,1,2,3,4$ で $\theta =0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}$。

③ まとめる。 重複($\theta =0$)を除いて

$$\theta =0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}$$

まとめ:$\cos A=\cos B$ は「$A=2k\pi \pm B$」の $2$ 系統。$3$ 倍角で展開するより角の関係のほうが速い。$5\theta =2k\pi$ から $5$ 等分の角が出る。範囲 $0\le \theta <2\pi$ で $k$ を動かし、重複を除く。

発展 — 一歩先へ。 $\cos n\theta$ は $\cos \theta$ の $n$ 次多項式で書ける(チェビシェフ多項式 $T_n$)。$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$、$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ を使えば $\cos \theta$ の $3$ 次方程式にもできる。和積を使う本解と、多項式に落とす道の両方があり、後者は $\cos \frac{2\pi }{5}$ の値も副産物で得られる。

別解

別解 — 和を積に直す(和積の公式ルート)。 $\cos 3\theta =\cos 2\theta$ を右辺に寄せ、$\cos 3\theta -\cos 2\theta =0$。和積の公式 $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$ を使う。

$$\cos 3\theta -\cos 2\theta =-2\sin \frac{5\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}=0.$$

積が $0$ だから $\sin \frac{5\theta }{2}=0$ または $\sin \frac{\theta }{2}=0$。

$\sin \frac{\theta }{2}=0$ は $0\le \theta <2\pi$ で $\theta =0$。$\sin \frac{5\theta }{2}=0$ は $\frac{5\theta }{2}=k\pi$、すなわち $\theta =\frac{2k\pi }{5}$ で $\theta =0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}$。

$A=\pm B+2k\pi$ を使う本解と同じ $5$ 個の解。和積は「等しい $2$ つの $\cos$ の差 $=0$」を積の形にして、一気に因数分解できるのが強み。