cos36°−cos72° の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $36^{\circ }$ の特別さは、倍角の連鎖が閉じることだ。$72^{\circ }=2\times 36^{\circ }$、$144^{\circ }=2\times 72^{\circ }$、そして $144^{\circ }=180^{\circ }-36^{\circ }$ で出発点に戻る。

$a=\cos 36^{\circ },b=\cos 72^{\circ }$ とおくと、倍角2回で「$b$ は $a$ の式」「$a$ は $b$ の式」という対の連立ができる。

これを解きにいく前に、辺々加えるのが急所。右辺に $a^2-b^2$ が現れ、左辺の $a+b$ と共通因数になって割れるので、個々の値より先に差 $a-b$ が求まってしまう。

① 連立を作る((1)の証明)。 $72^{\circ }=2\times 36^{\circ }$ に倍角の公式を使えばそのまま

$$\cos 72^{\circ }=2{\cos }^{2}36^{\circ }-1$$

次に $144^{\circ }=2\times 72^{\circ }$ に倍角: $\cos 144^{\circ }=2{\cos }^{2}72^{\circ }-1$。左辺は補角の公式で $\cos 144^{\circ }=\cos (180^{\circ }-36^{\circ })=-\cos 36^{\circ }$。よって $-\cos 36^{\circ }=2{\cos }^{2}72^{\circ }-1$、すなわち

$$\cos 36^{\circ }=1-2{\cos }^{2}72^{\circ }$$

② 加えて割る((2)の証明)。 $a=\cos 36^{\circ },b=\cos 72^{\circ }$(ともに正)とおくと、①の2式は $b=2a^2-1$、$a=1-2b^2$。辺々加えて

$$a+b=2a^2-2b^2=2(a+b)(a-b)$$

$a+b>0$ だから両辺を $a+b$ で割れて

$$1=2(a-b)⟺a-b=\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=\frac{1}{2}$$

③ 値を求める((3))。 $b=a-\frac{1}{2}$ を $b=2a^2-1$ に代入:

$$a-\frac{1}{2}=2a^2-1⟺4a^2-2a-1=0⟹a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$$

$a=\cos 36^{\circ }>0$ だから

$$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

まとめ: 「連立を解く前に足して、共通因数 $(a+b)$ で割る」— 割る前に $a+b\ne 0$ を確かめる一言まで含めて答案の核心。$36^{\circ },72^{\circ }$ は正五角形の内側に住む角で、答えに現れる $\sqrt{5}$ は対角線と辺の比(黄金比)の影だ。

発展 — 一歩先へ。 $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\phi }{2}$($\phi$ は黄金比)。正五角形の対角線と辺の比が $\phi$ であることと、この値はひとつながりだ。$36^{\circ }$ 一族($18^{\circ },54^{\circ },72^{\circ }$)の三角比には、すべて $\sqrt{5}$ が宿る。

別解

$18^{\circ }$ の方程式から攻める($\sin$ 側のルート)。 $s=\sin 18^{\circ }$ を主役にしても、同じ黄金比の家族に届く。

$18^{\circ }$ の特別さは $3\times 18^{\circ }=90^{\circ }-2\times 18^{\circ }$。両辺の正弦をとると $\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }$、すなわち

$$3s-4s^3=1-2s^2$$

(左辺は3倍角、右辺は倍角。)整理して $4s^3-2s^2-3s+1=0$。$s=1$ が解だと気づけば因数分解できて

$$(s-1)(4s^2+2s-1)=0$$

$0<s<1$ だから $s\ne 1$ で、$4s^2+2s-1=0$ より $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$。すると

$$\cos 36^{\circ }=1-2s^2=1-2\cdot \frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

差も $\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=(1-2s^2)-s\cdot$… ではなく $\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }=s$ を直接使って $\frac{1+\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{1}{2}$ ✓。

「$3\theta =90^{\circ }-2\theta$」型の角の関係は、$36^{\circ }$ 一族の値を生む第2の蛇口だ。倍角の連鎖(本解)と使い比べてほしい。