加法定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $75^{\circ }$ は特殊角ではない。しかし、特殊角の"和"に分解できる。

$$75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$$

分解できたら、加法定理の出番だ。

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin 75^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$$

知っている値を入れる。

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

「知らない角を、知っている角の和・差に分解する」 — これが加法定理の使い方だ。

$$15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ },105^{\circ }=60^{\circ }+45^{\circ },75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$$

$30$、$45$、$60$ の足し引きで作れる角なら、すべて値が求まる。

$75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$ とみて代入する。

$$\sin 75^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$$

各値を入れる。

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

発展 — 一歩先へ。 加法定理は、三角関数のすべての公式の親である。ここから、ほとんどが導ける。

$2$ 倍角($\beta =\alpha$ とするだけ):

$$\sin 2\alpha =\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

半角($2$ 倍角を逆に解く):

$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha ⟹{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$

$3$ 倍角($2\alpha +\alpha$ と分けて、加法定理を $2$ 回):

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$$

和と積の公式(加法定理を足し引きする):

$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right\}$$

合成($a\sin \theta +b\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )$):

これも加法定理の逆読みである。

公式集にずらりと並ぶ三角関数の公式。その $9$ 割が、加法定理から出てくる。

だから、覚えるのは加法定理だけでよい。

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

($\cos$ の符号が"逆"になるのが唯一の注意点。)

そして、加法定理の本当の正体は「回転の合成」である。

複素数で書くと、驚くほど簡単になる。

$$e^{i\alpha }\times e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}$$

「$\alpha$ 回転してから $\beta$ 回転すれば、$(\alpha +\beta )$ 回転」 — 当たり前の事実だ。

これを $\cos +i\sin$ の形で書き直すと

$$(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )=\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$$

左辺を展開して、実部と虚部を比べると — 加法定理そのものが出てくる。

$$\text{実部}:\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )$$ $$\text{虚部}:\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$$

あの複雑な公式は、「回転を $2$ 回すると、角度が足される」という当たり前を、実部と虚部に分けて書いただけだった。

複素数を学ぶと、三角関数の公式が"当たり前"に見えてくる。 数Cで、その景色が待っている。

別解

半角の公式でも解ける。 そして、そこで現れる二重根号を外す練習ができる — 一石二鳥のルートだ。

半角ルート: $75^{\circ }$ は $150^{\circ }$ の半分。

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$$

$\theta =150^{\circ }$ とすると、$\frac{\theta }{2}=75^{\circ }$。

$${\sin }^{2}75^{\circ }=\frac{1-\cos 150^{\circ }}{2}$$

$\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$(第 $2$ 象限なので負)を代入する。

$${\sin }^{2}75^{\circ }=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

平方根をとる。 $75^{\circ }$ は第 $1$ 象限なので $\sin >0$。

$$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$$

二重根号が出た。 このままでは、加法定理の答え $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ と同じに見えない。

二重根号を外す。

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=?$$

コツ: 中身を $\frac{4+2\sqrt{3}}{2}$ と書き直す(分母分子を $2$ 倍)。

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$$

$4+2\sqrt{3}$ を、$({)}^2$ の形にする。 足して $4$、掛けて $3$ になる $2$ 数は $3$ と $1$。

$$4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}{)}^2+2\sqrt{3}\cdot 1+1^2=(\sqrt{3}+1{)}^2$$

きれいな平方になった。

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$

したがって

$$\sin 75^{\circ }=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}✓$$

加法定理の答えと、完全に一致した。

$2$ つのルートの比較。

この問題では加法定理が圧倒的に速い。 しかし $\sin 22.5^{\circ }$($=45^{\circ }÷2$)のような角は、加法定理では作れない — 半角の公式でしか求まらない。

道具は、使い分けるためにある。

検算しておこう。 $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx \frac{2.449+1.414}{4}=\frac{3.863}{4}\approx 0.966$

$\sin 75^{\circ }$ は、$\sin 90^{\circ }=1$ に近い値のはず — $0.966$ は妥当 ✓

そして、面白い確認をしておこう。

$$\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }$$

($90^{\circ }-75^{\circ }=15^{\circ }$、余角の関係。) だから $\cos 15^{\circ }$ も、同じ値 $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ である。$1$ つ求めれば、$2$ つ分かる。