度とラジアンの変換

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 度とラジアンの変換は、たった $1$ 本の関係式から全部作れる。

$$\pi (\text{ラジアン})=180^{\circ }$$

これだけ覚える。 あとは比例計算だ。

(1) 度 → ラジアン: $180^{\circ }$ で割って、$\pi$ を掛ける($\times \frac{\pi }{180}$)。

$$60^{\circ }=60\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3}$$

$$135^{\circ }=135\times \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$$

(2) ラジアン → 度: $\pi$ で割って、$180$ を掛ける($\times \frac{180}{\pi }$)。

$$\frac{\pi }{6}=\frac{1}{6}\times 180^{\circ }=30^{\circ }$$

$$\frac{5}{6}\pi =\frac{5}{6}\times 180^{\circ }=150^{\circ }$$

「$\pi$ を $180$ に置きかえるだけ」 と覚えると、ラジアン → 度は暗算でできる。

(1) 度にラジアン換算の $\frac{\pi }{180}$ をかける。

$$60^{\circ }=60\times \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3},135^{\circ }=135\times \frac{\pi }{180}=\frac{3}{4}\pi$$

(2) ラジアンに $\frac{180^{\circ }}{\pi }$ をかける。

$$\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}\times \frac{180^{\circ }}{\pi }=30^{\circ },\frac{5}{6}\pi =\frac{5}{6}\pi \times \frac{180^{\circ }}{\pi }=150^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 なぜ $1$ 周を $360$ に分けたのか。この数には、古代の名残がある。

古代バビロニアの $60$ 進法。 彼らは $60$ を基本の単位としていた($60$ は $2,3,4,5,6,10,12,15,20,30$ で割り切れる — 約数がとても多い)。$1$ 年が約 $360$ 日であることとも相まって、$360$ が円の分割に選ばれたという。

時間の単位($1$ 時間 $=60$ 分、$1$ 分 $=60$ 秒)も、この $60$ 進法の名残である。$4000$ 年前の習慣が、今も腕時計の中で生きている。

しかし、数学と物理は $360$ を捨てた。 自然界に $360$ という数の必然性はないからだ。

代わりに現れたのが $\pi$ である。 円周と直径の比 — これは人間が決めた数ではなく、宇宙が決めた数だ。どんな文明が測っても、同じ $3.14159\dots$ になる。

「人間の都合の単位」から「自然の単位」へ。 これは科学の進歩に、繰り返し現れるパターンだ。

• 長さ: フィート(人の足の長さ)→ メートル(地球の子午線から定義、現在は光速で定義)
• 温度: 華氏(人の体温を基準)→ ケルビン(絶対零度を基準)
• 角度: 度($360$ 分割)→ ラジアン(弧と半径の比)

「自然が採用している単位」で書き直すと、法則は必ずシンプルになる。 アインシュタインの $E=m{c}^2$ も、光速を $1$ とする単位系では $E=m$ — これ以上ないほど簡潔になる。

ラジアンを学ぶことは、「自然の言葉」に一歩近づくことなのだ。

別解

そもそも、なぜラジアンなんてものを使うのか。 度($360$ 分割)で困ることはなかったはずだ。この疑問に答えておこう。理由が分かれば、ラジアンが好きになる。

ラジアンの定義に立ち返る。

$$1\text{ラジアン}=(\text{半径と同じ長さの弧})\text{に対する中心角}$$

「弧の長さ $÷$ 半径」が角度 — それがラジアンだ。

$$\theta =\frac{\ell }{r}(\ell :\text{弧の長さ},r:\text{半径})$$

円周は $2\pi r$ だから、$1$ 周($360^{\circ }$)は $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$ ラジアン。 半周($180^{\circ }$)なら $\pi$ ラジアン ✓ — これが $\pi =180^{\circ }$ の正体である。

理由1: 弧の長さと面積の公式が、劇的に簡単になる。

$360$ という数字が消え、$\pi$ も消えた。 掛け算だけの、きれいな式になる。

理由2(こちらが本命): 微分の公式が、ラジアンでしか成り立たない。

数IIIで学ぶ、最も基本的な公式。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

この美しい式は、$x$ がラジアンのときにしか成り立たない。

もし度を使ったら

$$(\sin x^{\circ }{)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x^{\circ }$$

$\frac{\pi }{180}$ という、汚い係数がくっついてくる。 $2$ 階微分すればその $2$ 乗、$3$ 階なら $3$ 乗 — 式が汚れ続ける。

その根っこにあるのが、この極限だ。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

ラジアンだからこそ、この極限がぴったり $1$ になる。 度で測ると $\frac{\pi }{180}\approx 0.0175$ という半端な値になってしまう。

$\sin x\approx x$($x$ が小さいとき) — この便利な近似も、ラジアンの世界でだけ成り立つ。振り子の運動方程式、光の回折、波の解析 — 物理のあらゆる場面で、この近似が使われている。

理由3: 単位がない(無次元)。

$\theta =\frac{\ell }{r}$ は「長さ $÷$ 長さ」だから、単位が打ち消し合って消える。だからラジアンは、他の物理量と自由に掛けたり足したりできる。

度は「人間の都合($360$ という数の割り切れやすさ)」で決めた単位。ラジアンは「数学の都合」で決めた単位。

そして、自然は数学の都合に従っている — だから物理も工学も、ラジアンを使う。

$60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ という変換に慣れることは、"数学の言葉"を身につけることなのだ。