正弦と余弦の対称な連立方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin$ の式と $\cos$ の式が対で与えられたら、2乗して足すのが第一手だ。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が $x$ でも $y$ でも使えて未知数が大幅に消える。

生き残るのは加法定理でまとまる交差項、すなわち差の角 $x-y$ の情報だけ。差が決まれば実質1変数だ。

ただし2乗は同値変形ではない。最後に元の式で確かめる作法までがワンセットになる。

① 2乗して足す。

$$(\sin x+\sin y{)}^2+(\cos x+\cos y{)}^2=2+2(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=2+2\cos (x-y)$$

左辺は $1^2+(\sqrt{3}{)}^2=4$ だから

$$2+2\cos (x-y)=4⟺\cos (x-y)=1$$

② 差を確定する。 $0\le x<2\pi ,0\le y<2\pi$ より $-2\pi <x-y<2\pi$。この範囲で $\cos (x-y)=1$ となるのは $x-y=0$、すなわち $x=y$ だけ。

③ 1変数にして解く。 $x=y$ を元の式に入れると

$$2\sin x=1,2\cos x=\sqrt{3}$$

$\sin x=\frac{1}{2}$ かつ $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を同時に満たすのは $x=\frac{\pi }{6}$ のみ($\sin$ だけなら $\frac{5\pi }{6}$ もあるが、$\cos$ の符号が弾く)。よって

$$(x,y)=\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right)$$

これは元の2式をともに満たす(確かめ: $2\cdot \frac{1}{2}=1$ ✓、$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ ✓)。

まとめ: 対称な連立は「2乗和で差の角を取り出す」— 消える量($x,y$ 個別の情報)と残る量($x-y$)を見抜くのが急所。2乗した後の逆の確認、$\sin$ と $\cos$ の両方で角を確定する詰め、の2つの作法で完答になる。

別解

和積で中点の角を取り出す(分解ルート)。 2乗する代わりに、両式をそれぞれ和積で分解してもよい。

$$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=1,\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=\sqrt{3}$$

共通因子 $\cos \frac{x-y}{2}$ は0でない(0なら両式とも左辺0になり矛盾)。辺々割って

$$\tan \frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

中点の角がまず決まる。$\frac{x+y}{2}=\frac{\pi }{6}$ の場合、第2式から $2\cos \frac{\pi }{6}\cos \frac{x-y}{2}=\sqrt{3}$、つまり $\cos \frac{x-y}{2}=1$ で $x=y$。よって $x=y=\frac{\pi }{6}$($\frac{x+y}{2}=\frac{7\pi }{6}$ の場合は $\cos \frac{x+y}{2}<0$ で第2式の符号に合わず不適)。

2乗和(本解)は差の角を、和積の比は中点の角を先に取り出す。どちらも「対称な2式を、和の角と差の角の言葉に翻訳する」同じ思想だ。

なお、いちばん鮮やかな見方も添えておく。左辺は単位ベクトル $(\cos x,\sin x)$ と $(\cos y,\sin y)$ の和で、右辺の長さは $\sqrt{3+1}=2$ — 単位ベクトル2本の和の長さの最大値そのもの。最大になるのは2本が同じ向きのときだけだから、その場で $x=y$ が出る。