数学II / 三角関数

余弦の和の閉じた式(複素数と等比数列)

実戦編三角関数複素数等比数列和積単元横断

問題

$sin \frac{θ}{2} \neq = 0$ とする。 $k = 1 \sum n cos k θ$ を $θ, n$ の式で表せ。

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$cos k θ$ は $(cos θ + i sin θ)^{k}$ の実部。公比 $e^{i θ}$ の等比数列の和をとって実部を拾う。分母・分子に半角をつくると整う。

解答・解説

方針

$cos k θ$ を複素数 $(e^{i θ})^{k}$ の実部とみて、公比 $e^{i θ}$ の等比数列の和 $\frac{e ^{i θ} ( e ^{in θ} - 1 )}{e ^{i θ} - 1}$ を計算し、実部をとる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $cos θ + cos 2 θ + \dots$ を加法定理でちまちま足しても閉じない。角が等差で並ぶ和には、専用の見方がある。

$cos k θ$ を複素数 $(cos θ + i sin θ)^{k}$ の実部と読むのだ。すると和は公比 $cos θ + i sin θ$ の等比数列の和になる。

等比数列の和の公式で1つの分数にまとめ、最後に実部を取り出せば閉じた式が出る。「三角関数の等差の和=複素数の等比の和」という翻訳が本問の心臓部だ。

定理

cos k θ = Re (e^{i θ})^{k}

、等比数列の和

k = 1 \sum n z^{k} = \frac{z ( z ^{n} - 1 )}{z - 1}

(

z \neq = 1

)

① 等比数列の和にする。 $z = e^{i θ} (\neq = 1)$ とすると $k = 1 \sum n cos k θ = Re k = 1 \sum n z^{k} = Re \frac{z ( z ^{n} - 1 )}{z - 1} .$ ② 半角で整える。 分子 $z^{n} - 1 = e^{in θ} - 1$ 、分母 $z - 1 = e^{i θ} - 1$ 。それぞれ $e^{i \cdot \frac{n θ}{2}}$ 、 $e^{i \cdot \frac{θ}{2}}$ をくくり出すと $e^{in θ} - 1 = e^{i \frac{n θ}{2}} (e^{i \frac{n θ}{2}} - e^{- i \frac{n θ}{2}}) = e^{i \frac{n θ}{2}} \cdot 2 i sin \frac{n θ}{2},$ 同様に $e^{i θ} - 1 = e^{i \frac{θ}{2}} \cdot 2 i sin \frac{θ}{2}$ 。よって $\frac{z ( z ^{n} - 1 )}{z - 1} = e^{i θ} \cdot \frac{e ^{i \frac{n θ}{2}} \cdot 2 i sin \frac{n θ}{2}}{e ^{i \frac{θ}{2}} \cdot 2 i sin \frac{θ}{2}} = \frac{sin \frac{n θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}} e^{i (θ + \frac{n θ}{2} - \frac{θ}{2})} = \frac{sin \frac{n θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}} e^{i \frac{( n + 1 ) θ}{2}} .$ ③ 実部をとる。 $e^{i \frac{( n + 1 ) θ}{2}}$ の実部は $cos \frac{( n + 1 ) θ}{2}$ だから $k = 1 \sum n cos k θ = \frac{sin \frac{n θ}{2} cos \frac{( n + 1 ) θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}} .$

まとめ 余弦の和は、複素数の等比数列の和の実部として取り出す。半角 $e^{i θ /2}$ をくくって $sin \frac{θ}{2}$ を作るのが整える鍵。三角・複素数・等比数列の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ計算の虚部からは $\sum sin k θ$ が出る。さらに $\frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n} cos k θ$ という形はディリクレ核とよばれ、フーリエ級数(音や波形を三角関数の和で表す理論)の収束を調べる主役になる。等差の角の和は、波の重ね合わせの数学の入り口だ。

答

$cos k θ = Re (e^{i θ})^{k}$ とみて等比数列の和をとり、実部から $k = 1 \sum n cos k θ = \frac{sin \frac{n θ}{2} cos \frac{( n + 1 ) θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}}$ 。

別解

別解 — 複素数を使わず、積和の望遠鏡で(苦手な人向け)。 求める和に $2 sin \frac{θ}{2}$ を掛けてみる。積和の公式で

$2 sin \frac{θ}{2} cos k θ = sin (k + \frac{1}{2}) θ - sin (k - \frac{1}{2}) θ .$

右辺は「隣どうしの差」の形だ。 $k = 1$ から $n$ まで足すと中間が全部打ち消し合い、

$2 sin \frac{θ}{2} k = 1 \sum n cos k θ = sin (n + \frac{1}{2}) θ - sin \frac{θ}{2} .$

両辺を $2 sin \frac{θ}{2}$ で割り、右辺を和積でまとめれば本解と同じ

$k = 1 \sum n cos k θ = \frac{sin \frac{n θ}{2} cos \frac{( n + 1 ) θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}} .$

「うまい因子を掛けて望遠鏡にする」— 複素数の等比和(本解)がやっていることの、実数での姿である。仮定 $sin \frac{θ}{2} \neq = 0$ が割り算の場面で効いているのも、この形だとよく見える。

ポイント

$cos k θ = Re (e^{i θ})^{k}$ で等比数列に載せる。
$e^{im θ} - 1 = e^{i \frac{m θ}{2}} \cdot 2 i sin \frac{m θ}{2}$ で半角を作る。
実部をとって $\frac{sin \frac{n θ}{2} cos \frac{( n + 1 ) θ}{2}}{sin \frac{θ}{2}}$ 。

よくある間違い

公比が $1$ になる場合( $θ$ が $2 π$ の倍数)を除外する仮定 $sin \frac{θ}{2} \neq = 0$ の役割に触れない。
等比の和を作ったあと、分母の複素数を実数化する処理(共役を掛ける、または半角でくくる)で迷走する。
出した閉形式を小さい値で検算しない( $θ = \frac{π}{2}, n = 2$ : 左辺 $0 - 1 = - 1$ 、右辺も $- 1$ になるか)。