三角関数の値(単位円)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角関数の値は、単位円の上の点の座標として読む。

$$\cos \theta =(\text{点の x 座標}),\sin \theta =(\text{点の y 座標})$$

$\theta =\frac{2}{3}\pi =120^{\circ }$ の点は、単位円の左上(第 $2$ 象限)にいる。

$x$ 軸から $120^{\circ }$ 回った点 — それは $60^{\circ }$ の点($\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$)を、$y$ 軸で折り返した点だ。

$$\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

だから

$$\cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2},\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\tan$ は、$\frac{\sin }{\cos }$。

$$\tan \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}$$

単位円に点を打てば、符号も値も同時に決まる。

$\theta =\frac{2}{3}\pi =120^{\circ }$ は第2象限。基準となる角($x$ 軸とのなす角)は $60^{\circ }$ なので、$\sin$、$\cos$ の大きさは $60^{\circ }$ と同じで、符号を象限で決める。

第2象限は $\sin$ が正、$\cos$ が負なので

$$\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2}$$

$\tan$ は割り算。

$$\tan \frac{2}{3}\pi =\frac{\sin }{\cos }=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}$$

発展 — 一歩先へ。 「三角比」から「三角関数」への拡張は、定義を根本から作り直す大きな一歩だった。

中学・数Iの三角比: 直角三角形の辺の比

$$\sin \theta =\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$$

この定義では、$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ でしか意味がない。 直角三角形の鋭角しか扱えないからだ($120^{\circ }$ の直角三角形など存在しない)。

数IIの三角関数: 単位円上の点の座標

$$\cos \theta =x,\sin \theta =y$$

この定義なら、$\theta$ はどんな実数でもよい。 $120^{\circ }$ でも、$1000^{\circ }$ でも、$-45^{\circ }$ でも、単位円の上に点は打てる。

定義を広げても、古い値は変わらない — これが重要だ。$\sin 30^{\circ }$ は、直角三角形で測っても単位円で測っても $\frac{1}{2}$ である。拡張は、既存の知識を壊さない。

この「定義の拡張」というパターンは、数学の随所に現れる。

「今まで通用していたルールが、拡張後も成り立つように定義する」 — これが数学の拡張の作法だ。$a^0=1$ も $0!=1$ も、そう決めると全部つじつまが合うから、そう決めている。

そして拡張すると、新しい世界が見える。

三角関数を単位円で定義し直したことで、周期性(グラフが波になる)という性質が現れた。三角比のままでは、$\sin$ が波だとは気づけない。

波は、この世界の基本形だ。 音、光、電波、量子力学の波動関数 — すべて三角関数で記述される。

単位円に点を打つ、という小さな一歩。 それが、波の数学への扉を開いた。

別解

三角定規を使う方法を紹介する。値を丸暗記しなくても、絵を描けばその場で作れる。

$120^{\circ }$ の点を作る手順。

手順1: 単位円を描き、$120^{\circ }$ の方向に線を引く。 第 $2$ 象限(左上)だ。

手順2: その点から $x$ 軸に垂線を下ろす。 すると直角三角形ができる。

手順3: この三角形の角度を読む。 $x$ 軸の負の方向とのなす角は

$$180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$

$30^{\circ }$-$60^{\circ }$-$90^{\circ }$ の三角定規が現れた!

手順4: 三角定規の辺の比を思い出す。

$$1:2:\sqrt{3}(\text{短辺}:\text{斜辺}:\text{長辺})$$

単位円なので斜辺(半径)は $1$。だから

• 横の辺($x$ 軸方向)$=\frac{1}{2}$
• 縦の辺($y$ 軸方向)$=\frac{\sqrt{3}}{2}$

手順5: 符号をつける。 第 $2$ 象限なので、$x$ は負、$y$ は正。

$$\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)✓$$

「大きさは三角定規、符号は象限」 — この $2$ 段階で、どんな角の値も作れる。

象限と符号の対応を、表で押さえておこう。

覚え方はいろいろあるが、「$x$ 座標が $\cos$、$y$ 座標が $\sin$」に立ち返れば、表を覚える必要はない。 図を描いて、点がどの部屋にいるかを見るだけだ。

$\tan$ の符号は、$\frac{\sin }{\cos }$ の符号 — 分子と分母の符号が同じなら正、違えば負。第 $2$ 象限は $\frac{+}{-}=-$ ✓。

$\tan$ には、もう $1$ つの見方がある。

$$\tan \theta =(\text{原点とその点を結ぶ直線の}\text{傾き})$$

$120^{\circ }$ の方向に引いた直線の傾き — それが $\tan 120^{\circ }=-\sqrt{3}\approx -1.73$ だ。左上へ向かう急な直線 — 傾きが負で、絶対値が大きい。図と一致する ✓

$\tan$ を「傾き」と読むと、$\tan 90^{\circ }$ が定義されない理由も分かる。 $90^{\circ }$ の方向は真上(垂直な直線) — 傾きが定義できないのだ。

単位円という $1$ 枚の絵が、$\sin$・$\cos$・$\tan$ のすべてを語っている。 迷ったら、円を描く。