グラフの平行移動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ — $\theta$ が $\frac{\pi }{3}$ だけ引かれている。

引くと、グラフは右へ動く。

$$y=f(\theta -p)⟹\text{右へ }p\text{平行移動}$$

$$\text{θ 軸方向に }+\frac{\pi }{3}\text{だけ平行移動}$$

「マイナスなのに、右へ?」 — ここが直感に反する。しかし理由は単純だ。

元のグラフ $y=\sin \theta$ は、$\theta =0$ で $y=0$ から始まる。

新しいグラフは、いつ $y=0$ から始まるか? カッコの中身が $0$ になるときだ。

$$\theta -\frac{\pi }{3}=0⟹\theta =\frac{\pi }{3}$$

元の「$\theta =0$ での出来事」が、新しいグラフでは「$\theta =\frac{\pi }{3}$」で起こる — つまり $\frac{\pi }{3}$ だけ遅れている(右にずれている)。

中身が $\theta -\frac{\pi }{3}$ なので、$p=\frac{\pi }{3}$。よって $y=\sin \theta$ を $\theta$ 軸方向(横方向)に $+\frac{\pi }{3}$、つまり右へ $\frac{\pi }{3}$ 平行移動したもの。

発展 — 一歩先へ。 この「横のずれ」を、物理では位相という。そして、位相のずれが世界を変える場面がある。

ノイズキャンセリング・イヤホン。

外の騒音(波)をマイクで拾い、まったく逆の位相の波($\pi$ だけずらした波)を作って重ねる。

$$\sin \theta +\sin (\theta -\pi )=\sin \theta -\sin \theta =0$$

波が打ち消し合って、静寂が生まれる。 「音で音を消す」— 位相の数学が、物理的に音を消しているのだ。

逆に、位相が揃うと波は強め合う。

$$\sin \theta +\sin \theta =2\sin \theta (\text{振幅が }2\text{倍})$$

この「強め合い・弱め合い」を干渉という。

光の干渉が、シャボン玉の虹色を作り、CD の裏面が虹色に光る理由になっている。電波の干渉が、スマホの電波が届いたり届かなかったりする原因になる。

そして、位相はもう $1$ つ、決定的な役割を果たす。

$$\cos \theta =\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)$$

$\cos$ は、$\sin$ を $\frac{\pi }{2}$ ずらしただけ。 つまり $\sin$ と $\cos$ は同じ波であり、位相が $90^{\circ }$ 違うだけなのだ。

この $90^{\circ }$ のずれが、回転を生む。 単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ が円を描くのは、$x$ 方向と $y$ 方向の振動が、$90^{\circ }$ ずれているからである($2$ つの振動が同位相なら、点は斜めの直線上を往復するだけだ)。

$2$ つの波を、位相をずらして組み合わせると、回転が生まれる。 これが交流モーターが回る原理($3$ 相交流)であり、円運動と単振動が表裏一体である理由だ。

「$\frac{\pi }{3}$ 右にずらす」という小さな操作。 その先に、音を消し、光を虹色に染め、モーターを回す物理が広がっている。

別解

「マイナスなのに右へ動く」という違和感を、完全に解消しておこう。 ここを納得しておかないと、この先ずっと迷い続けることになる。

具体的な点を、$3$ つ追いかける。

元のグラフ $y=\sin \theta$ の特徴点:

新しいグラフ $y=\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ で、同じ出来事はいつ起こるか?

「山($y=1$)」になるのは、カッコの中身が $\frac{\pi }{2}$ のとき。

$$\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}⟹\theta =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$$

元は $\frac{\pi }{2}$ で山だったのが、新しくは $\frac{5\pi }{6}$ で山。

$$\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi -3\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$$

ちょうど $\frac{\pi }{3}$ だけ、右にずれた ✓

表にすると、一目瞭然だ。

すべての出来事が、$\frac{\pi }{3}$ ずつ遅れて起こる。 グラフ全体が右へずれた ✓

直感的な言い方をすると。

「$\theta -\frac{\pi }{3}$」は、「$\frac{\pi }{3}$ だけ遅れた時計」を見ているようなものだ。あなたの時計が $\frac{\pi }{3}$ 遅れていたら、あなたが「$0$ 時だ」と思う瞬間は、実際には $\frac{\pi }{3}$ 時である — 出来事が遅れて起こる $=$ 右へずれる。

この規則は、三角関数に限らない。すべての関数で成り立つ。

$$y=f(x-p)\to \text{右へ }p$$ $$y=f(x+p)\to \text{左へ }p$$ $$y=f(x)+q\to \text{上へ }q$$ $$y=f(x)-q\to \text{下へ }q$$

$x$ 方向は「逆」、$y$ 方向は「そのまま」 — この非対称性が、混乱のもとだ。

なぜ非対称なのか。 実は、$y$ 方向も"逆"なのだ。$y=f(x)+q$ は、書き直すと

$$y-q=f(x)$$

$y$ から $q$ を引いている — $x$ と同じく「引いたら正の方向へ動く」。

$$y-q=f(x-p)⟹(p,q)\text{だけ平行移動}$$

この形で書けば、$x$ も $y$ も同じルール($x$ から引いた分だけ右、$y$ から引いた分だけ上)。円の方程式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ が中心 $(a,b)$ を表すのと、まったく同じ理屈だ。

「$x-a$ と $y-b$ の形にすれば、$(a,b)$ だけ動く」 — この統一的な理解を持てば、もう迷わない。