正接の値から2倍角を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分かっているのは $\tan \theta$ の値だけ。$\theta$ が何度かも、どの象限かも分からない。

でも求めたいのは $2$ 倍角。$2$ 倍角の公式は $\sin \theta ,\cos \theta$ で書くのが基本だが、それぞれの値までは要らない。

$\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,\tan 2\theta$ は、じつは $\tan \theta$ だけで表せる公式がある。$\tan \theta =2$ を入れれば一発だ。

① $\sin 2\theta$。 $\tan \theta =2$ を代入。

$$\sin 2\theta =\frac{2\cdot 2}{1+2^2}=\frac{4}{5}$$

② $\cos 2\theta$。

$$\cos 2\theta =\frac{1-2^2}{1+2^2}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$$

③ $\tan 2\theta$。

$$\tan 2\theta =\frac{2\cdot 2}{1-2^2}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$$

(検算:$\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}=\tan 2\theta$。)

まとめ:$\tan \theta$ だけが分かるときは、$2$ 倍角を $\tan \theta$ で表す公式が便利。$\sin \theta ,\cos \theta$ の符号(象限)を気にせず求まる。$\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ の分母は同じ $1+{\tan }^2\theta$、$\tan 2\theta$ だけ分母が $1-{\tan }^2\theta$。

発展 — 一歩先へ。 $\tan \theta$ だけで $\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ を表す公式は、$t=\tan \frac{\theta }{2}$ とおく「半角(ワイエルシュトラス)置換」の親戚。$\sin \theta =\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$ と書ける。三角関数の積分を有理関数に変える強力な道具で、大学でよく使う。

別解

別解 — 直角三角形を$1$つ描く(苦手な人向けの直感ルート)。 $\tan \theta =2=\frac{2}{1}$ は「対辺 $2$、隣辺 $1$」の直角三角形。斜辺は三平方で $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。

この三角形から $\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$、$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ と読める。

あとは素直な $2$ 倍角へ代入する。

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5},$$ $$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\frac{1}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}.$$

$\tan 2\theta =\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }=-\frac{4}{3}$。$\theta$ が第 $3$ 象限($\sin ,\cos$ とも負)でも、$\sin 2\theta ,\cos 2\theta$ は積・$2$乗の形なので符号が変わらず同じ答え。公式を丸暗記しなくても、三角形を $1$ つ描けば $2$ 倍角にたどり着ける。