数学II / 三角関数

和積を使う三角方程式

★★★ 応用和積三角方程式

問題

$0 \leq θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin θ + sin 3 θ = 0$ を解け。

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和を積に直すと、方程式が『積 $= 0$ 』の形になる。因数ごとに $0$ とおいて、範囲内の解をもれなく拾おう。

解答・解説

方針

和 → 積の公式で、 $sin θ + sin 3 θ$ を1つの積に直す。積 = 0 の形になり、因数ごとに解ける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin θ + sin 3 θ = 0$ は $sin$ の和の形。和のままでは因数分解できず、解きにくい。

和積の公式を使うと、 $1$ つの積 $2 sin 2 θ cos θ$ にまとまる。

積が $0$ の形になれば、因数ごとに $0$ とおいて解ける。和を積に変えて積 $= 0$ に持ち込む、という三角方程式の定跡だ。

公式和 → 積:

sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}

$A = 3 θ$ 、 $B = θ$ として和を積に直す。

$sin 3 θ + sin θ = 2 sin 2 θ cos θ = 0$

よって $sin 2 θ = 0$ または $cos θ = 0$ 。

$sin 2 θ = 0$ から $2 θ = 0, π, 2 π, 3 π$ 、つまり $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$ 。

$cos θ = 0$ から $θ = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ (すでに含まれる)。

まとめて $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$ 。

sin2θ=0 と cosθ=0 を満たす角

発展 — 一歩先へ。 和積でまとめると $sin θ + sin 3 θ = 2 sin 2 θ cos θ$ 。ここで $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ を使えば $4 sin θ cos^{2} θ$ とも書ける。 $cos θ$ が $2$ 乗で入っているのがポイントだ。

$cos θ = 0$ を与える $θ = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ は「重解」にあたる。関数 $y = sin θ + sin 3 θ$ のグラフは、この $2$ 点で $x$ 軸を横切らず、軸に触れて折り返す(接する)。いっぽう $sin θ = 0$ を与える $θ = 0, π$ は単純な解で、グラフは軸を突き抜ける。

因数の「重なり」がグラフの「接する・横切る」の違いに対応する。方程式の解と関数のグラフを結ぶ普遍的な橋がここにある。

答

$θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$

別解

別解 — $3$ 倍角で開いて因数分解する(和積を使わないルート)。 和積の公式を思い出せなくても、 $sin 3 θ$ を $3$ 倍角で開けば解ける。 $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ を代入する。

$sin θ + sin 3 θ = sin θ + (3 sin θ - 4 sin^{3} θ) = 4 sin θ - 4 sin^{3} θ = 4 sin θ (1 - sin^{2} θ) .$

$1 - sin^{2} θ = cos^{2} θ$ だから

$sin θ + sin 3 θ = 4 sin θ cos^{2} θ = 0.$

積が $0$ なので $sin θ = 0$ または $cos θ = 0$ 。 $0 \leq θ < 2 π$ で

$sin θ = 0$ : $θ = 0, π$ 。
$cos θ = 0$ : $θ = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ 。

合わせて $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$ 。和積を使う本解と同じ答えだ。じつは和積の $2 sin 2 θ cos θ$ を開くと $4 sin θ cos^{2} θ$ で、同じ積を別の顔で見ていたことになる。

ポイント

和 → 積で1つの積に直すと、積=0 で解ける。
重複する解はまとめる。

よくある間違い

和積の公式 $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ の中身を取り違え、 $sin$ と $cos$ の役割や割る $2$ を誤る。
$sin 2 θ = 0$ を $2 θ = 0, π$ だけとし、 $2 θ$ が $[0, 4 π)$ を動くこと( $2 θ = 2 π, 3 π$ も)を忘れて $θ = π, \frac{3}{2} π$ を落とす。
$cos θ = 0$ の解 $\frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ が $sin 2 θ = 0$ の解にすでに含まれると気づかず、重複を二重に数える。