数学II / 三角関数

三角関数の式の簡約

★★ 標準三角関数の性質

問題

$sin (\frac{π}{2} + θ) + cos (π - θ) + sin (π + θ)$ を簡単にせよ。

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$3$ つの項をそれぞれ単位円の対称性で書き換える。 $\frac{π}{2} + θ$ 型は $sin$ と $cos$ が入れかわるタイプ — 図で確認しながら $1$ 個ずつ処理しよう。

解答・解説

それぞれを性質の公式で $sin θ$ か $cos θ$ に直す。 $\frac{π}{2} + θ$ は $cos$ に変わる。あとは足し合わせる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 角のずらしの公式は2家族に分かれる。 $π \pm θ$ 、 $- θ$ の家族は関数名がそのまま。 $\frac{π}{2} \pm θ$ の家族は $sin$ と $cos$ が入れかわる。

「 $\frac{π}{2}$ がらみは名前が変わる」とまず分類してから、符号を単位円で確かめる。

3項をそれぞれ翻訳して足し合わせれば、打ち消しが起きて簡単な形に落ちる。

公式

sin (\frac{π}{2} + θ) = cos θ

、

cos (π - θ) = - cos θ

、

sin (π + θ) = - sin θ

それぞれを直す。

$sin (\frac{π}{2} + θ) = cos θ, cos (π - θ) = - cos θ, sin (π + θ) = - sin θ$

足し合わせると、 $cos θ$ と $- cos θ$ が消えて

$cos θ + (- cos θ) + (- sin θ) = - sin θ$

発展 — 一歩先へ。 ずらしの公式は全部で十数個あるように見えるが、暗記は不要だ。単位円で「点がどこへ写るか」( $π + θ$ は原点対称、 $- θ$ は $x$ 軸対称、 $\frac{π}{2} - θ$ は直線 $y = x$ 対称)を描けば、その場で全部復元できる。

さらに上の統一原理が加法定理だ。 $sin (\frac{π}{2} + θ)$ を加法定理で開けば $cos θ$ が機械的に出る。次の単元の主役が、この家族全員の親であることを覚えておこう。

答

$- sin θ$

公式変換の前に、具体角で「答えの正体」を先に知っておく手がある。実験と証明の分業だ。

$θ = 3 0^{\circ}$ を入れてみる。

$sin 12 0^{\circ} + cos 15 0^{\circ} + sin 21 0^{\circ} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} = - sin 3 0^{\circ}$ 。答えは $- sin θ$ になりそうだ、と予想が立つ。

あとは公式で各項を翻訳して( $cos θ - cos θ - sin θ$ )、予想どおり $- sin θ$ を確定させる。

具体角の実験は、変換の途中で符号を1つ間違えた瞬間に「予想とずれた」と教えてくれる警報機になる。この型の問題では、実験1回を先にやる習慣が符号ミスを激減させる。