数学II / 三角関数

三角形の正弦の和の最大(凸性と制約)

実戦編三角関数最大・最小凸関数制約条件単元横断

問題

三角形の $3$ つの内角 $A, B, C$ ( $A + B + C = π$ 、いずれも正)に対し、 $sin A + sin B + sin C$ の最大値を求めよ。

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$sin$ は $(0, π)$ で上に凸。 $2$ 角 $A, B$ を平均 $\frac{A + B}{2}$ ずつにそろえると $sin A + sin B$ は増える(和積で確認)。角を寄せていくと正三角形へ。

解答・解説

方針

$sin$ が上に凸であることを使う。制約 $A + B + C = π$ のもとで、和積で $2$ 角を平均に寄せると和が増えることを示し、正三角形で最大と結論。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3変数の最大化だが、制約は $A + B + C = π$ の1本だけ。こういうときは「2つの角を平均に寄せると和が増えるか?」を調べるのが有力だ。

和積の公式で $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ 。和 $A + B$ を保ったまま $A = B$ に寄せると、 $cos \frac{A - B}{2}$ が $1$ に上がって和は増える。

つまり最大では、どの2角も等しい=正三角形。 $sin$ が $(0, π)$ で上に凸であることが、この「均すと得」の根っこにある。

公式和積

sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}

① 2角をそろえると増える。 和 $A + B$ を固定して $A, B$ を動かす。和積より $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} .$ $sin \frac{A + B}{2} > 0$ は一定で、 $cos \frac{A - B}{2}$ は $A = B$ (差 $0$ )のとき最大 $1$ 。よって $A + B$ を保つなら $A = B$ にそろえたとき $sin A + sin B$ は最大。

② 3角を正三角形へ寄せる。 もし $3$ 角が全て等しくない場合、等しくない $2$ 角を①でそろえると和は真に増える。増やせなくなるのは $A = B = C$ のとき、すなわち $A = B = C = \frac{π}{3}$ 。

③ 最大値。 $sin \frac{π}{3} + sin \frac{π}{3} + sin \frac{π}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2} .$

まとめ $sin$ の上に凸性から、角をそろえるほど和が大きい。和積で $2$ 角を平均に寄せる操作を繰り返すと正三角形に達し、最大 $\frac{3 3}{2}$ 。三角と最大最小(凸性)の融合。

発展 — 一歩先へ。 正弦定理 $sin A = \frac{a}{2 R}$ を入れると、 $sin A + sin B + sin C = \frac{a + b + c}{2 R}$ 。つまり本問は「外接円を固定した三角形で周の長さが最大なのは正三角形」と同じ命題である。また恒等式 $sin A + sin B + sin C = 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$ という積の顔ももつ。

答

$sin$ は $(0, π)$ で上に凸。イェンゼンの不等式(または和積で2角ずつ寄せる)から、 $A = B = C = \frac{π}{3}$ で最大 $\frac{3 3}{2}$ 。

別解

別解 — 2角を寄せたあと、相加相乗で仕上げる(得意な人向けの設計)。 まず $C$ を固定する。和積より $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} \leq 2 sin \frac{A + B}{2}$ で、等号は $A = B$ 。

そこで $A = B$ とし、 $s = sin \frac{C}{2}$ とおくと( $sin C = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2}$ を使って)

$f (C) = 2 cos \frac{C}{2} + sin C = 2 cos \frac{C}{2} (1 + sin \frac{C}{2}), f^{2} = 4 (1 - s) (1 + s)^{3} .$

ここで相加相乗平均を「和が一定になる4つ」に設計して使う。 $3 (1 - s), (1 + s), (1 + s), (1 + s)$ の和は $6$ で一定。よって

$3 (1 - s) (1 + s)^{3} \leq (\frac{6}{4})^{4} = \frac{81}{16} ⟹ f^{2} \leq \frac{27}{4} ⟹ f \leq \frac{3 3}{2} .$

等号は $3 (1 - s) = 1 + s$ 、すなわち $s = \frac{1}{2}$ 、 $C = \frac{π}{3}$ (このとき $A = B = \frac{π}{3}$ )。

微分も凸性も使わず、「係数 $3$ を付けて和を一定にする」という相加相乗の設計だけで登り切った。

ポイント

$sin$ は $(0, π)$ で上に凸、角をそろえるほど和が大きい。
和積で $A = B$ にそろえると $sin A + sin B$ が最大。
最大は正三角形 $A = B = C = \frac{π}{3}$ で $\frac{3 3}{2}$ 。

よくある間違い

「対称だから正三角形で最大」と論証なしに書く(寄せると増える、の1段を式で示す)。
2角を寄せたあとの1変数関数を微分でごり押しして計算が重くなる(相加相乗の設計や合成で軽くなる)。
等号成立の確認( $A = B$ かつ $C = \frac{π}{3}$ が同時に成り立つ)を最後まで書かない。