軌跡と領域 — 軌跡の方程式・線形計画法

2点 $\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(5,4)$ から等距離にある点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

定点 $\mathrm{A}(2,0)$ からの距離が $3$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

2点 $\mathrm{O}(0,0)$、$\mathrm{A}(6,0)$ について、$\mathrm{PO}:\mathrm{PA}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

不等式 $y>2x-1$ の表す領域を図示せよ。

不等式 $x^2+y^2\le 4$ の表す領域を図示せよ。

連立不等式 $\{\begin{array}{l}y\ge x\\ y\le -x+4\end{array}$ の表す領域を図示せよ。

不等式 $1<x^2+y^2<4$ の表す領域を図示せよ。

不等式 $|x|<2$ の表す領域を図示せよ。

点 $\mathrm{Q}$ が円 $x^2+y^2=4$ 上を動く。定点 $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{Q}$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を求めよ。

不等式 $y\ge |x|$ の表す領域を図示せよ。

連立不等式 $x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+y\le 3$ の表す領域を図示せよ。また、この領域は何という図形か答えよ。

点 $(x,y)$ が連立不等式 $x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+y\le 4$ の表す領域を動くとき、$x+2y$ の最大値を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(-2,0)$、$\mathrm{B}(2,0)$ について、${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=16$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(5,0)$ について、$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:3$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$m$ が実数全体を動くとき、2直線 $x-my=0$ と $mx+y=2$ の交点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

点 $\mathrm{P}$ が円 $x^2+y^2=4$ 上を動く。原点 $\mathrm{O}$、定点 $\mathrm{A}(4,0)$、$\mathrm{P}$ を頂点とする三角形の重心 $\mathrm{G}$ の軌跡を求めよ。

連立不等式 $x^2+y^2\le 4$、$y\ge x$ の表す領域を図示せよ。

不等式 $|x|+|y|\le 2$ の表す領域を図示せよ。

点 $(x,y)$ が連立不等式 $x\ge 0$、$y\ge 0$、$x\le 4$、$y\le 3$、$x+y\le 6$ の表す領域を動くとき、$2x+y$ の最大値を求めよ。

点 $(x,y)$ が円 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2\le 4$ の表す領域(円の内部と周)を動くとき、$x^2+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

点 $(x,y)$ が円 $x^2+y^2\le 25$ の表す領域を動くとき、$3x+4y$ の最大値と最小値を求めよ。

ある工場で製品 P、Q を作る。P を1個作るのに材料 $2$ kg・作業 $1$ 時間、Q を1個作るのに材料 $1$ kg・作業 $2$ 時間かかる。材料は $8$ kg、作業時間は $7$ 時間まで使える。P 1個で $3$ 万円、Q 1個で $4$ 万円の利益があるとき、利益を最大にするには P、Q を何個ずつ作ればよいか。

連立不等式 $x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+y\le 4$、$x^2+y^2\ge 4$ の表す領域の面積を求めよ。

定点 $(1,2)$ を通る直線 $y=k(x-1)+2$ が円 $x^2+y^2=1$ と共有点をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(-3,0)$、$\mathrm{B}(3,0)$ について、${\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PB}}^2=12$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$k$ が実数全体を動くとき、円 $x^2+y^2=1$ と直線 $y=2x+k$ が2点で交わるならば、その2交点を結ぶ弦の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を求めよ。

原点 $\mathrm{O}$ を通る直線 ${\ell }_1$ と、点 $\mathrm{A}(4,0)$ を通り ${\ell }_1$ に垂直な直線 ${\ell }_2$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。${\ell }_1$ の傾きが変化するとき、$\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

点 $(x,y)$ が長方形の領域 $2\le x\le 4$、$1\le y\le 3$ を動くとき、$\frac{y}{x}$ の最大値と最小値を求めよ。

点 $(x,y)$ が三角形の領域 $x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+y\le 4$ を動くとき、$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2$ の最小値を求めよ。

$t$ が実数全体を動くとき、直線 $y=2tx-t^2$ が通過する領域を求め、図示せよ。

点 $(x,y)$ が円板 $x^2+y^2\le 4$ を動くとき、$xy$ の最大値と最小値を求めよ。

実数 $a$ に対して点 $\mathrm{P}(a+1,a^2)$ を考える。$a$ が実数全体を動くとき、$\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(6,0)$ からの距離の比が $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

点 $\mathrm{Q}$ が円 $x^2+y^2=9$ の上を動く。定点 $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{Q}$ を結ぶ線分 $\mathrm{AQ}$ の中点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$m$ を実数の定数とする。$2$ 直線 $mx-y=0$ と $x+my-2=0$ の交点 $\mathrm{P}$ は、$m$ が変化するとどんな図形を描くか。その方程式を求めよ。

$x,y$ が $4$ つの不等式

$$x\ge 0,y\ge 0,x+2y\le 8,3x+y\le 9$$

をすべて満たすとき、$x+y$ の最大値を求めよ。

点 $(x,y)$ が円板 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2\le 4$ の上を動くとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

$a$ が実数全体を動くとき、直線 $y=2ax-a^2$ が通過する領域を求め、図示せよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(-2,0)$、$\mathrm{B}(2,0)$ について、${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=20$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$x,y$ が $|x|+|y|\le 2$ かつ $y\ge 0$ を満たすとき、$2x+3y$ の最大値と最小値を求めよ。

$\theta$ が実数全体を動くとき、直線 $x\cos \theta +y\sin \theta =1$ が通過する点 $(x,y)$ 全体の領域を求めよ。

点 $\mathrm{Q}$ が直線 $x=1$ 上を動く。原点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ を結ぶ半直線上に、$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=1$ を満たす点 $\mathrm{P}$($\mathrm{Q}$ と同じ側)をとる。$\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。ただし $\mathrm{Q}$ は原点以外を動く。

$2$ つの不等式 $y\ge x^2$ と $y\le 2-x^2$ を同時に満たす領域の面積を求めよ。

$x^2+y^2\le 5$ かつ $x+y\ge 1$ を満たす領域において、$x+2y$ の最大値を求めよ。

$t$ が $0$ 以外の実数を動くとき、点 $\mathrm{P}\left(t+\frac{1}{t},t-\frac{1}{t}\right)$ の軌跡を求めよ。

$t$ が正の実数全体を動くとき、円 $(x-t{)}^2+y^2=t^2$ が通過する点 $(x,y)$ 全体の領域を求めよ。

放物線 $y=x^2$ 上の異なる $2$ 点における接線が直交するとき、その交点の軌跡を求めよ。

$2$ つの不等式 $y\ge |x|-1$ と $y\le 1-x^2$ を同時に満たす領域の面積を求めよ。

$t$ が $0\le t\le 1$ の範囲を動くとき、直線 $y=2tx-t^2$ が通る点全体のつくる領域を $D$ とする。

(1) 点 $(x,y)$ が $D$ に属するための条件を求め、$D$ を図示せよ。

(2) $D$ と直線 $x=2$ の共通部分を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=1$ を満たしながら動くとき、点 $(X,Y)=(x+y,xy)$ が描く図形を求め、図示せよ。

実数 $x,y$ が $x^2+xy+y^2=3$ を満たすとき、$x+y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

放物線 $y=x^2$ 上に原点 O と異なる2点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ があり、$\mathrm{OP}\perp \mathrm{OQ}$ を満たしながら動く。直線 $\mathrm{PQ}$ は定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2\le 1$ を満たしながら動くとき、点 $(X,Y)=(x^2-y^2,2xy)$ の動く範囲を求め、図示せよ。

2点 $\mathrm{A}(-1,0),\mathrm{B}(1,0)$ に対し、$\angle \mathrm{APB}=45^{\circ }$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$a,b$ を実数とする。$x$ の2次方程式

$$x^2-2ax+b=0$$

が $-1\le x\le 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような点 $(a,b)$ の全体を、横軸 $a$・縦軸 $b$ の平面に図示せよ。

不等式

$$x^2+y^2\le 2|x|+2|y|$$

の表す領域を図示し、その面積を求めよ。