共有点をもつ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線は定点 $(1,2)$ を軸に、$k$ とともに回転する。円と共有点を持つ範囲を問われている。

共有点の条件は「中心から直線までの距離 $\le$ 半径」。

直線を $kx-y+(2-k)=0$ の形に直し、原点からの距離を $k$ で表して不等式を解く。2乗して整理すれば $k$ の1次不等式に落ちる。

① なぜ「距離 ≤ 半径」で交わるのかを絵で考える。 円の中心 $\mathrm{O}$ から直線へ下ろした垂線の長さが、直線と中心が最も近づく距離。この最短距離が半径 $1$ 以下なら、直線は円の内側まで届いて交わる。逆に半径より大きいと直線は円の外を素通りする。だから「中心と直線の距離 $\le$ 半径」が共有点をもつ条件。

② 中心と直線の距離を式にする。 直線を $kx-y+(2-k)=0$ とみて、点と直線の距離公式で中心 $\mathrm{O}(0,0)$ からの距離を書くと $\frac{|2-k|}{\sqrt{k^2+1}}$。これが半径 $1$ 以下。

$$\frac{|2-k|}{\sqrt{k^2+1}}\le 1$$

③ 解く。 分母は正なので、両辺を2乗して整理する。

$$(2-k{)}^2\le k^2+1\Rightarrow 4-4k+k^2\le k^2+1$$

$$4-4k\le 1\Rightarrow -4k\le -3\Rightarrow k\ge \frac{3}{4}$$

まとめ:直線と円の共有点の有無は「中心から直線への垂線の長さ(＝最短距離)と半径の大小」で決まる。距離が半径以下なら直線が円に食い込む、という絵をつかめば、あとは距離公式に当てはめて解くだけだ。

発展 — 一歩先へ。 「傾き $k$ の式は垂直な直線を表せない」という今日の注意は、傾きで直線族を扱うすべての問題に付いて回る。取りこぼしを避けたいときは $a(x-1)+b(y-2)=0$ の形(全方向を表せる)に乗り換える手もある。

回転する直線と円の共有点の個数($0,1,2$ 個)を $k$ の範囲で完全に分類する問題や、共有点を持つ $k$ の範囲から弦の長さの最大を続けて問う問題へ、この設定は自然に発展していく。

別解

連立して判別式で攻めるルートも、きれいに落ちる。

直線 $y=k(x-1)+2$ を円 $x^2+y^2=1$ に代入すると、$c=2-k$ とおいて

$$(1+k^2)x^2+2kcx+c^2-1=0$$

共有点を持つ条件は、この2次方程式が実数解を持つこと。判別式を計算すると、うまく約分が起きて

$$\frac{D}{4}=k^2{c}^2-(1+k^2)(c^2-1)=1+k^2-c^2=1+k^2-(2-k{)}^2=4k-3$$

$D\ge 0$ から $k\ge \frac{3}{4}$。距離ルートと同じ答えだ。

図の状況も添えておく。定点 $(1,2)$ は円の外にあるから、そこから引ける接線が2本…と思いきや、答えの範囲は片側だけ。もう1本の接線は「$y=k(\cdots )$ の形で書けない垂直な直線 $x=1$」で、$k$ の世界の外にいる。式の形が扱える直線の範囲を狭めていた、という気づきまで拾えると完璧である。