円の領域上での1次式の最大(内積・合成)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 領域は「円板」と「半平面」の共通部分。その上で1次式 $x+2y$ の最大を探す。

1次式は一方向にまっすぐ増えるから、最大は領域の境界、それも円周側で起こるはずだ。まず制約を1本(円)に減らして最大を出す。

円板上の最大が $(1,2)$ で起きて、この点がもう1つの制約 $x+y\ge 1$ を満たすなら、それがそのまま答えになる。「強い制約だけで解き、残りは検算」という段取りだ。

① 上界。 円板 $x^2+y^2\le 5$ 上で $$x+2y\le \sqrt{1^2+2^2}\sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5.$$ ② 等号点。 等号は $(x,y)=k(1,2)$ かつ $x^2+y^2=5$。$k^2(1+4)=5\Rightarrow k=1$、点は $(1,2)$。

③ 制約の確認。 $(1,2)$ は $x+y=3\ge 1$ を満たすので領域内。よって最大値は $$x+2y=1+2\cdot 2=5.$$

まとめ コーシー・シュワルツで上界 $5$、等号点 $(1,2)$ が $x+y\ge 1$ を満たすので最大値 $5$。領域(制約)と最大最小(コーシー・シュワルツ)の融合。等号点の実行可能性を必ず確かめる。

発展 — 一歩先へ。 もう1つの制約が「効く」場合もある。たとえば制約を $y\le x$ に変えると、最大点 $(1,2)$ は失格になり、最大は円と直線 $y=x$ の交点 $\left(\frac{\sqrt{10}}{2},\frac{\sqrt{10}}{2}\right)$ で $\frac{3\sqrt{10}}{2}\approx 4.74$ に下がる。制約が遊んでいるか効いているかの見極めは、線形計画法の考え方そのものだ。

別解

別解 — 直線を平行移動して「接する瞬間」を見る(苦手な人向けの図形ルート)。 $x+2y=k$ とおくと、$k$ を増やすほど直線は右上へ平行移動する。

$k$ が実現する $⟺$ 直線が領域と共有点をもつ。いちばん大きい $k$ は、直線が円 $x^2+y^2=5$ にぎりぎり接する瞬間だ。

中心(原点)から直線 $x+2y-k=0$ までの距離が半径と等しいとき: $\frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$、すなわち $k=\pm 5$。最大側は $k=5$、接点は中心から法線方向 $(1,2)$ に進んだ $(1,2)$。

この接点が第2の制約 $x+y\ge 1$ を満たす($1+2=3\ge 1$)ことを確かめて、最大値 $5$ が確定する。コーシー・シュワルツ(本解)と、接する図(この解)は同じ現象の式と絵である。